Багатокутники та їх властивості. Урок "Багатокутники. Види багатокутників" у рамках технології "Розвиток критичного мислення через читання та лист" Які вершини багатокутника називаються сусідніми

Частина площини, обмежена замкненою ламаною лінією, називається багатокутником.

Відрізки цієї ламаної лінії називаються сторонамибагатокутник. АВ, ПС, CD, DE, ЕА (рис. 1) - сторони багатокутника ABCDE. Сума всіх сторін багатокутника називається його периметром.

Багатокутник називається опуклимякщо він розташований по одну сторону від будь-якої своєї сторони, необмежено продовженої за обидві вершини.

Багатокутник MNPKO (рис. 1) не буде опуклим, оскільки він розташований не з одного боку прямої КР.

Ми розглядатимемо лише опуклі багатокутники.

Кути, складені двома сусідніми сторонами багатокутника, називаються його внутрішнімикутами, а вершини їх - вершинами багатокутника.

Відрізок прямий, що з'єднує дві несусідні вершини багатокутника, називається діагоналлю багатокутника.

АС, AD – діагоналі багатокутника (рис. 2).

Кути, суміжні із внутрішніми кутами багатокутника, називаються зовнішніми кутами багатокутника (рис. 3).

Залежно від числа кутів (сторін) багатокутник називається трикутником, чотирикутником, п'ятикутником тощо.

Два багатокутники називаються рівними, якщо їх можна поєднати накладенням.

Вписані та описані багатокутники

Якщо всі вершини багатокутника лежать на колі, то багатокутник називається вписанимв коло, а коло - описаноюбіля багатокутника (рис).

Якщо всі сторони багатокутника є дотичні до кола, то багатокутник називається описанимбіля кола, а коло називається вписаноюбагатокутник (рис).

Подібність багатокутників

Два однойменних багатокутники називаються подібними, якщо кути одного з них відповідно дорівнюють кутам іншого, а подібні сторони багатокутників пропорційні.

Однойменними називаються багатокутники, що мають однакову кількість сторін (кутів).

Подібними називаються сторони подібних багатокутників, що з'єднують вершини відповідно до рівних кутів (рис).

Так, наприклад, щоб багатокутник ABCDE був подібний до багатокутника A'B'C'D'E', необхідно, щоб: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠С = ∠С' ∠D = ∠D' ∠ Е = ∠Е' і, крім того, AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DE/D'E' = EA/E'A'.

Відношення периметрів подібних багатокутників

Спочатку розглянемо якість низки рівних відносин. Нехай маємо, наприклад, відносини: 2/1=4/2=6/3=8/4=2.

Знайдемо суму попередніх членів цих відносин, потім - суму їх наступних членів та знайдемо відношення отриманих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Те саме ми отримаємо, якщо візьмемо ряд якихось інших відносин, наприклад: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 Знайдемо суму попередніх членів цих відносин і суму наступних, а потім знайдемо відношення цих сум, отримаємо:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

У тому й іншому випадку сума попередніх членів низки рівних відносин відноситься до суми наступних членів цього ж ряду, як попередній член будь-якого з цих відносин відноситься до свого наступного.

Ми вивели цю властивість, розглянувши ряд числових прикладів. Воно може бути виведено строго та у загальному вигляді.

Тепер розглянемо відношення периметрів таких багатокутників.

Нехай багатокутник ABCDE подібний до багатокутника A'B'C'D'E' (рис).

З подоби цих багатокутників випливає, що

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’

На підставі виведеної нами властивості ряду рівних відносин можемо написати:

Сума попередніх членів взятих нами відносин є периметром першого багатокутника (Р), а сума наступних членів цих відносин є периметром другого багатокутника (Р'), значить, P / P' = AB / A'B' .

Отже, периметри подібних багатокутників відносяться як їхні подібні сторони.

Відношення площ подібних до багатокутників

Нехай ABCDE і A'B'C'D'E' - такі багатокутники (рис).

Відомо, що ΔAВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' і ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Крім того,

;

Оскільки другі відносини цих пропорцій рівні, що випливає з подоби багатокутників, то

Використовуючи властивість низки рівних відносин отримаємо:

Або

де S та S' - площі даних подібних багатокутників.

Отже, площі таких багатокутників відносяться як квадрати подібних сторін.

Отриману формулу можна перетворити на такий вид: S / S' = (AВ / A'В') 2

Площа довільного багатокутника

Нехай потрібно вирахувати площу довільного чотирикутника АВDС (рис).

Проведемо у ньому діагональ, наприклад АD. Отримаємо два трикутники АВD та АСD, площі яких обчислювати вміємо. Потім знаходимо суму площ цих трикутників. Отримана сума і виражатиме площу даного чотирикутника.

Якщо потрібно обчислити площу п'ятикутника, то чинимо так само: з однієї якої-небудь вершини проводимо діагоналі. Отримаємо три трикутники, площі яких можемо обчислити. Отже, можемо знайти і площу цього п'ятикутника. Також робимо при обчисленні площі будь-якого багатокутника.

Площа проекції багатокутника

Нагадаємо, що кутом між прямою та площиною називається кут між даною прямою та її проекцією на площину (рис.).

Теорема. Площа ортогональної проекції багатокутника на площину дорівнює площі багатокутника, що проектується, помноженої на косинус кута, утвореного площиною багатокутника і площиною проекції.

Кожен багатокутник можна розбити на трикутники, сума площ яких дорівнює площі багатокутника. Тому теорему достатньо довести для трикутника.

Нехай ΔАВС проектується на площину р. Розглянемо два випадки:

а) одна зі сторін ΔАВС паралельна площині р;

б) жодна із сторін ΔАВС не паралельна р.

Розглянемо перший випадок: нехай [АВ] || р.

Проведемо через (АВ) площину р 1 || рі спроектуємо ортогонально ΔАВС на р 1 і на р(Рис.); отримаємо ΔАВС 1 і ΔА'В'С'.

За якістю проекції маємо ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С', і тому

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Проведемо ⊥ та відрізок D 1 C 1 . Тоді ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ є величина кута між площиною ΔАВС та площиною р 1 . Тому

SΔABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | АВ | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

і, отже, S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Перейдемо до розгляду другого випадку. Проведемо площину р 1 || рчерез ту вершину ΔАВС, відстань від якої до площини рнайменше (нехай це буде вершина А).

Спроектуємо ΔАВС на площині р 1 та р(Рис.); нехай його проекціями будуть відповідно ΔАВ 1 С 1 і ΔА'В'С'.

Нехай (ВС) ∩ p 1 = D. Тоді

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

Поняття багатокутника. Що таке багатокутник

Багатокутник- це геометрична фігура, що є замкненою ламаною лінією.

Існують три варіанти визначення багатокутників:

• Багатокутник – це плоска замкнута ламана лінія;
• Багатокутник – це плоска замкнута ламана лінія без самоперетинів;
• Багатокутник – це частина площини, яка обмежена замкненою ламаною.

Вершини ламаної називаються вершинами багатокутника, А відрізки - сторонами багатокутника.

Вершинибагатокутника називаються сусіднімиякщо вони є кінцями однієї з його сторін.

Відрізки, що з'єднують несусідні вершини багатокутника, називаються діагоналями.

Кутом (або внутрішнім кутом) багатокутникапри даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що сходяться в цій вершині, і знаходиться у внутрішній ділянці багатокутника.

Зовнішнім кутом опуклого багатокутникапри цій вершині називається кут, суміжний внутрішньому куту багатокутника при цій вершині. У загальному випадку зовнішній кут це різниця між 180° та внутрішнім кутом

Багатокутник називають опуклим, за умови, що одна з наступних умов є вірною:

• Випуклий багатокутник лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що з'єднує сусідні вершини;
• Випуклий багатокутник є перетином декількох напівплощин;
• Будь-який відрізок з кінцями в точках, що належать опуклому багатокутнику, повністю належить йому.

Випуклий багатокутник називається правильнимякщо у нього всі сторони рівні і всі кути рівні, наприклад, рівносторонній трикутник, квадрат і правильний п'ятикутник.

Випуклий багатокутник називається вписаним у коло, якщо всі його вершини лежать на одному колі.

Опуклий багатокутник називається описаним біля кола, якщо всі його сторони стосуються певного кола.

Класифікація (види) багатокутників

Класифікація багатокутників за видами можливо за багатьма властивостями, найголовніші з них:

• кількість вершин
• опуклість
• правильність
• можливість вписати або описати коло

Випуклий багатокутник завжди лежить по одну сторону від прямої, яка містить будь-яку з його сторін. (див. вище)

У правильного багатокутника рівні всі боки та кути. Завдяки цьому, вони мають деякі особливі властивості (див. квадрат).

Самопересічні багатокутники також можуть бути правильними. Наприклад, пентаграма ("п'ятикінцева зірка").

Також багатокутники можна розрізняти щодо можливості вписати в багатокутник або описати коло біля багатокутника. Можуть бути багатокутники, довкола яких не можна описати коло, а також вписати його. Разом про те, навколо будь-якого трикутника завжди можна описати окружність .

Властивості багатокутника

• Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює (n − 2)π.
• Сума внутрішніх кутів правильного n-кутника дорівнює 180(n − 2).
• Число діагоналей будь-якого багатокутника дорівнює n(n − 3) / 2, де n – число сторін.

Трикутник, квадрат, шестикутник – ці фігури відомі практично всім. Але про те, що таке правильний багатокутник, знає далеко не кожен. Але це все ті ж Правильним багатокутником називають той, що має рівні між собою кути та сторони. Таких фігур дуже багато, але вони мають однакові властивості, і до них застосовні одні й самі формули.

Властивості правильних багатокутників

Будь-який правильний багатокутник, будь то квадрат або октагон, може бути вписаний у коло. Ця основна властивість часто використовується при побудові фігури. Крім того, коло можна і вписати в багатокутник. При цьому кількість точок дотику дорівнюватиме кількості його сторін. Важливо, що коло, вписане у правильний багатокутник, матиме із нею загальний центр. Ці геометричні постаті підпорядковані одним теоремам. Будь-яка сторона правильного n-кутника пов'язана з радіусом описаного біля нього кола R. Тому її можна обчислити, використовуючи таку формулу: а = 2R ∙ sin180°. Через можна знайти не тільки сторони, а й периметр багатокутника.

Як знайти кількість сторін правильного багатокутника

Кожен складається з деякої кількості рівних один одному відрізків, які, з'єднуючись, утворюють замкнуту лінію. При цьому всі кути фігури, що утворилася, мають однакове значення. Багатокутники поділяються на прості та складні. До першої групи відносяться трикутник та квадрат. Складні багатокутники мають більшу кількість сторін. До них також відносять зірчасті постаті. У складних правильних багатокутників сторони знаходять шляхом вписування в коло. Наведемо підтвердження. Накресліть правильний багатокутник із довільним числом сторін n. Опишіть коло нього коло. Задайте радіус R. Тепер уявіть, що дано деякий n-кутник. Якщо точки його кутів лежать на колі і дорівнюють одна одній, то сторони можна знайти за формулою: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходження числа сторін вписаного правильного трикутника

Рівносторонній трикутник – це правильний багатокутник. Формули до нього застосовуються ті ж, що і до квадрата, і n-кутника. Трикутник вважатиметься правильним, якщо він однакові по довжині сторони. При цьому кути дорівнюють 60⁰. Побудуємо трикутник із заданою довжиною сторін а. Знаючи його медіану та висоту, можна знайти значення його сторін. Для цього використовуватимемо спосіб знаходження через формулу а = х: cosα, де х - медіана або висота. Оскільки всі сторони трикутника рівні, отримуємо а = в = с. Тоді вірним буде наступне твердження а = = с = х: cosα. Аналогічно можна знайти значення сторін у рівнобедреному трикутнику, але х буде задана висота. При цьому проектуватись вона повинна строго на підставу фігури. Отже, знаючи висоту х, знайдемо бік а рівнобедреного трикутника за формулою а = в = х: cosα. Після знаходження значення а можна обчислити довжину основи. Застосуємо теорему Піфагора. Шукатимемо значення половини основи c: 2=√(х: cosα)^2 - (х^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Тоді c = 2xtg. Ось таким нескладним способом можна визначити кількість сторін будь-якого вписаного багатокутника.

Обчислення сторін квадрата, вписаного в коло

Як і будь-який інший вписаний правильний багатокутник, квадрат має рівні боки та кути. До нього застосовуються самі формули, як і до трикутнику. Обчислити сторони квадрата можна за значення діагоналі. Розглянемо цей метод більш детально. Відомо, що діагональ ділить кут навпіл. Спочатку його значення було 90 градусів. Таким чином, після розподілу утворюються два їхні кути при підставі дорівнюють 45 градусів. Відповідно кожна сторона квадрата дорівнюватиме, тобто: а = в = с = д = е ∙ cosα = е√2: 2, де е - це діагональ квадрата, або основа прямокутного трикутника, що утворився після розподілу. Це не єдиний спосіб знаходження сторін квадрата. Впишемо цю фігуру в коло. Знаючи радіус цього кола R, знайдемо бік квадрата. Обчислюватимемо її наступним чином a4 = R√2. Радіуси правильних багатокутників обчислюють за формулою R = а: 2tg (360 o: 2n), де а – довжина сторони.

Як обчислити периметр n-кутника

Периметром n-кутника називають суму всіх сторін. Обчислити його нескладно. Для цього потрібно знати значення всіх сторін. Для деяких видів багатокутників є спеціальні формули. Вони дозволяють знайти периметр набагато швидше. Відомо, що будь-який правильний багатокутник має рівні боки. Тому для того, щоб вирахувати його периметр, достатньо знати хоча б одну з них. Формула залежатиме від кількості сторін фігури. Загалом вона виглядає так: Р = an, де а - значення сторони, а n - кількість кутів. Наприклад, щоб знайти периметр правильного восьмикутника зі стороною 3 см, необхідно помножити її на 8, тобто Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шестикутника зі стороною 5 см обчислюємо так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожного багатокутника.

Знаходження периметра паралелограма, квадрата та ромба

Залежно від цього, скільки сторін має правильний багатокутник, обчислюється його периметр. Це набагато полегшує поставлене завдання. Адже, на відміну від інших фігур, у цьому випадку не потрібно шукати всі його сторони, достатньо однієї. За цим принципом знаходимо периметр у чотирикутників, тобто у квадрата і ромба. Попри те що це різні постаті, формула їм одна Р = 4а, де а - сторона. Наведемо приклад. Якщо сторона ромба або квадрата дорівнює 6 см, то знаходимо периметр так: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелограма рівні лише протилежні сторони. Тому його периметр знаходять, використовуючи інший спосіб. Отже, нам необхідно знати довжину та ширину у фігури. Потім застосовуємо формулу Р = (а + в) 2. Паралелограм, у якого рівні всі сторони та кути між ними, називається ромб.

Знаходження периметра рівностороннього та прямокутного трикутника

Периметр правильного можна визначити за формулою Р = 3а, де а - довжина боку. Якщо вона невідома, її можна знайти через медіану. У прямокутному трикутнику рівне значення мають лише дві сторони. Підставу можна знайти через теорему Піфагора. Після того, як стануть відомі значення всіх трьох сторін, обчислюємо периметр. Його можна знайти, застосовуючи формулу Р = а + в + с, де а і в – рівні сторони, а с – основа. Нагадаємо, що в рівнобедреному трикутнику а = в = а, отже, а + в = 2а, тоді Р = 2а + с. Наприклад, сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, знайдемо його основу та периметр. Обчислюємо значення гіпотенузи за теоремою Піфагора з = √а 2 + 2 = √16+16 = √32 = 5,65 см. Обчислимо тепер периметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайти кути правильного багатокутника

Правильний багатокутник зустрічається у нашому житті щодня, наприклад, звичайний квадрат, трикутник, восьмикутник. Здавалося б, немає нічого простішого, ніж побудувати цю фігуру самостійно. Але це лише на перший погляд. Щоб побудувати будь-який n-кутник, необхідно знати значення його кутів. Але як їх знайти? Ще вчені давнини намагалися збудувати правильні багатокутники. Вони здогадалися вписати їх у коло. А потім на ній відзначали потрібні точки, з'єднували їх прямими лініями. Для простих постатей проблема побудови була вирішена. Формули та теореми були отримані. Наприклад, Евклід у своїй знаменитій праці «Початок» займався вирішенням завдань для 3-, 4-, 5-, 6- та 15-кутників. Він знайшов способи їх побудови та знаходження кутів. Розглянемо як це зробити для 15-кутника. Спочатку потрібно розрахувати суму його внутрішніх кутів. Необхідно використати формулу S = 180⁰(n-2). Отже, нам дано 15-кутник, значить число n дорівнює 15. Підставляємо відомі нам дані у формулу і отримуємо S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Ми знайшли суму всіх внутрішніх кутів 15-кутника. Тепер потрібно отримати значення кожного з них. Усього кутів 15. Робимо обчислення 2340⁰: 15 = 156⁰. Отже, кожен внутрішній кут дорівнює 156⁰, тепер за допомогою лінійки та циркуля можна побудувати правильний 15-кутник. Але як бути з складнішими n-кутниками? Багато століть вчені билися над розв'язанням цієї проблеми. Воно було знайдено лише у 18-му столітті Карлом Фрідріхом Гауссом. Він зміг побудувати 65537-кутник. З цього часу проблема офіційно вважається повністю вирішеною.

Розрахунок кутів n-кутників у радіанах

Звісно, ​​є кілька способів знаходження кутів багатокутників. Найчастіше їх обчислюють у градусах. Але можна висловити їх у радіанах. Як це зробити? Необхідно діяти так. Спочатку з'ясовуємо число сторін правильного багатокутника, потім віднімаємо з нього 2. Отже, ми отримуємо значення: n - 2. Помножте знайдену різницю на число п («пі» = 3,14). Тепер залишається лише розділити отриманий твір на число кутів у n-кутнику. Розглянемо дані обчислення на прикладі того ж п'ятнадцятикутника. Отже, число n дорівнює 15. Застосуємо формулу S = п(n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Це, звичайно, не єдиний спосіб розрахувати кут у радіанах. Можна просто розділити розмір кута в градусах на 57,3. Адже саме стільки градусів еквівалентно одному радіану.

Розрахунок значення кутів у градах

Крім градусів та радіан, значення кутів правильного багатокутника можна спробувати знайти у градах. Робиться це так. Із загальної кількості кутів віднімаємо 2, ділимо отриману різницю на число сторін правильного багатокутника. Знайдений результат множимо на 200. До речі, така одиниця виміру кутів, як гради, практично не використовується.

Розрахунок зовнішніх кутів n-кутників

У будь-якого правильного багатокутника, крім внутрішнього, можна вирахувати ще й зовнішній кут. Його значення знаходять так само, як і для інших постатей. Отже, щоб знайти зовнішній кут правильного багатокутника необхідно знати значення внутрішнього. Далі нам відомо, що сума цих двох кутів завжди дорівнює 180 градусам. Тому обчислення робимо так: 180⁰ мінус значення внутрішнього кута. Знаходимо різницю. Вона і дорівнюватиме значення суміжного з ним кута. Наприклад, внутрішній кут квадрата дорівнює 90 градусів, отже, зовнішній становитиме 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як бачимо, знайти його нескладно. Зовнішній кут може набувати значення від +180⁰ до, відповідно, -180⁰.

Багатокутником називається геометрична фігура, яка з усіх боків обмежена замкненою ламаною лінією. При цьому кількість ланок ламаної не повинна бути меншою за три. Кожна пара відрізків ламаної має загальну точку та утворює кути. Кількість кутів разом із кількістю відрізків ламаної є основними характеристиками багатокутника. У кожному багатокутнику кількість ланок, що обмежує замкнуту ламану, збігається з кількістю кутів.

Сторонами у геометрії прийнято називати ланки ламаної лінії, що обмежує геометричний об'єкт. Вершинами називають точки дотику двох сусідніх сторін, за кількістю яких одержують свої назви багатокутники

Якщо замкнута ламана складається з трьох відрізків, вона називається трикутника; відповідно, з чотирьох відрізків - чотирикутником, з п'яти - п'ятикутником та ін.

Для позначення трикутника або чотирикутника користуються великими латинськими літерами, що позначають його вершини. Літери називають по порядку – за годинниковою стрілкою або проти неї.

Основні поняття

Описуючи визначення багатокутника, слід враховувати деякі суміжні геометричні поняття:

1. Якщо вершини є кінцями однієї сторони, вони називають сусідніми.
2. Якщо відрізок з'єднує між собою несусідні вершини, він має назву діагоналі. У трикутника може бути діагоналей.
3. Внутрішній кут - це кут при одній з вершин, утворений двома його сторонами, що сходяться в цій точці. Він завжди знаходиться у внутрішній області геометричної фігури. Якщо багатокутник не опуклий, його розмір може перевищувати 180 градусів.
4. Зовнішній кут при певній вершині - це кут суміжний із внутрішнім при ній же. Іншими словами, зовнішнім кутом можна вважати різницю між 180° та величиною внутрішнього кута.
5. Сума величин усіх відрізків зветься периметра.
6. Якщо всі сторони і всі кути рівні - він має назву правильного. Правильними можуть бути лише опуклі.

Як згадувалося вище, назви багатокутних геометричних будуються з кількості вершин. Якщо фігура їх кількість дорівнює n, вона називається n-кутника:

1. Багатокутник називається пласким, якщо обмежує кінцеву частину площини. Ця геометрична фігура може бути вписана в коло або описана навколо кола.
2. Випуклим називається n-кутник, який відповідає одній з умов, наведених нижче.
3. Фігура розташована по одну сторону від прямої лінії, яка з'єднує дві сусідні вершини.
4. Ця фігура служить загальною частиною або перетином декількох напівплощин.
5. Діагоналі розташовуються усередині багатокутника.
6. Якщо кінці відрізка розташовуються в точках, що належать багатокутнику, то весь відрізок належить йому.
7. Фігура може називатися правильною, якщо у неї всі відрізки та всі кути рівні. Прикладами можуть бути квадрат, рівносторонній трикутник або правильний п'ятикутник.
8. Якщо n-кутник не опуклий, всі боки та кути його рівні, а вершини збіглися з такими правильного n-кутника, він називається зірчастим. У таких фігур можуть бути самоперетинання. Прикладами можуть бути пентаграма або гексаграмма.
9. Трикутник або чотирикутник називається вписаним у коло, коли всі його вершини розташовуються всередині одного кола. Якщо ж сторони цієї фігури мають точки дотику з колом, це багатокутник, описаний біля деякого кола.

Будь-який опуклий n-кутник можна розділити на трикутники. При цьому кількість трикутників буває меншою від кількості сторін на 2.

Види фігур

Це багатокутник із трьома вершинами та трьома відрізками, що з'єднують їх. При цьому точки з'єднання відрізків не лежать на одній прямій.

Точки з'єднання відрізків - це вершини трикутника. Самі відрізки називаються сторонами трикутника. Загальна сума внутрішніх кутів кожного трикутника дорівнює 180 °.

За співвідношенням між сторонами всі трикутники можна поділяти на кілька видів:

1. Рівносторонні- У яких довжина всіх відрізків однакова.
2. Рівностегнові- трикутники, у яких рівні два відрізки із трьох.
3. Різнобічні- Якщо довжина всіх відрізків різна.

Крім того, прийнято розрізняти такі трикутники:

1. Гострокутні.
2. Прямокутні.
3. Тупокутні.

Чотирьохкутник

Чотирьохкутником називається плоска фігура, що має 4 вершини та 4 відрізки, які їх послідовно з'єднують.

1. Якщо всі кути чотирикутника прямі – ця фігура називається прямокутником.
2. Прямокутник, у якого всі сторони мають однакову величину, називається квадратом.
3. Чотирьохкутник, усі сторони якого рівні, називається ромбом.

На одній прямій не може бути відразу три вершини чотирикутника.

Відео

Додаткову інформацію про багатокутники ви знайдете у цьому відео.

На цьому уроці ми приступимо до нової теми і введемо нове для нас поняття «багатокутник». Ми розглянемо основні поняття, пов'язані з багатокутниками: сторони, вершини кути, опуклість та невипуклість. Далі доведемо найважливіші факти, такі як теорема про суму внутрішніх кутів багатокутника, теорема про суму зовнішніх кутів багатокутника. У результаті, ми підійдемо до вивчення окремих випадків багатокутників, які будуть розглядатися на подальших уроках.

Тема: Чотирьохкутники

Урок: Багатокутники

В курсі геометрії ми вивчаємо властивості геометричних фігур і вже розглянули найпростіші з них: трикутники та кола. При цьому ми обговорювали і конкретні окремі випадки цих фігур, такі як прямокутні, рівнобедрені та правильні трикутники. Тепер настав час поговорити про більш загальні та складні фігури - багатокутниках.

З окремим випадком багатокутниківми вже знайомі – це трикутник (див. рис. 1).

Рис. 1. Трикутник

У самій назві вже підкреслюється, що це постать, яка має три кути. Отже, в багатокутникуїх то, можливо багато, тобто. більше, ніж три. Наприклад, зобразимо п'ятикутник (див. мал. 2), тобто. фігуру з п'ятьма кутами.

Рис. 2. П'ятикутник. Випуклий багатокутник

Визначення.Багатокутник- фігура, що складається з декількох точок (більше двох) та відповідної кількості відрізків, які їх послідовно з'єднують. Ці точки називаються вершинамибагатокутника, а відрізки - сторонами. При цьому жодні дві суміжні сторони не лежать на одній прямій і жодні дві несуміжні сторони не перетинаються.

Визначення.Правильний багатокутник- це опуклий багатокутник, у якого всі боки та кути рівні.

Будь-який багатокутникподіляє площину на дві області: внутрішню та зовнішню. Внутрішню область також відносять до багатокутнику.

Іншими словами, наприклад, коли говорять про п'ятикутник, мають на увазі і всю його внутрішню область, і кордон. До внутрішньої області відносяться і всі точки, що лежать усередині багатокутника, тобто. точка теж відноситься до п'ятикутника (див. мал. 2).

Багатокутники ще іноді називають n-кутниками, щоб наголосити, що розглядається загальний випадок наявності якоїсь невідомої кількості кутів (n штук).

Визначення. Периметр багатокутника- Сума довжин сторін багатокутника.

Тепер треба познайомитись із видами багатокутників. Вони поділяються на опукліі невипуклі. Наприклад, багатокутник, зображений на Рис. 2, є опуклим, а Рис. 3 неопуклим.

Рис. 3. Неопуклий багатокутник

Визначення 1. Багатокутникназивається опуклим, якщо при проведенні прямої через будь-яку з його сторін багатокутниклежить лише з одного боку від цієї прямої. Невипуклимиє всі інші багатокутники.

Легко уявити, що при продовженні будь-якої сторони на Рис. 2 він виявиться з одного боку від цієї прямої, тобто. він опуклий. А ось при проведенні прямої через чотирикутник на Рис. 3 ми вже бачимо, що вона поділяє на дві частини, тобто. він невипуклий.

Але є й інше визначення опуклості багатокутника.

Визначення 2. Багатокутникназивається опуклим, якщо при виборі будь-яких двох внутрішніх точок і при з'єднанні їх відрізком всі точки відрізка є також внутрішніми точками багатокутника.

Демонстрацію використання цього визначення можна побачити з прикладу побудови відрізків на Рис. 2 та 3.

Визначення. Діагоналлюбагатокутника називається будь-який відрізок, що сполучає дві не сусідні його вершини.

Для опису властивостей багатокутників існують дві найважливіші теореми про їх кутах: теорема про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутникаі теорема про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника. Розглянемо їх.

Теорема. Про суму внутрішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де – кількість його кутів (сторон).

Доказ 1. Зобразимо на Рис. 4 опуклий n-кутник.

Рис. 4. Випуклий n-кутник

З вершини проведемо усі можливі діагоналі. Вони ділять n-кутник на трикутник, т.к. кожна сторона багатокутника утворює трикутник, крім сторін, що належать до вершини . Легко бачити на малюнку, що сума кутів всіх цих трикутників буде дорівнювати сумі внутрішніх кутів n-кутника. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника - , то сума внутрішніх кутів n-кутника:

Що й потрібно було довести.

Доказ 2. Можливий інший доказ цієї теореми. Зобразимо аналогічний n-кутник Рис. 5 і з'єднаємо будь-яку його внутрішню точку з усіма вершинами.

Рис. 5.

Ми отримали розбиття n-кутника на n трикутників (скільки сторін, стільки та трикутників). Сума всіх їх кутів дорівнює сумі внутрішніх кутів багатокутника та сумі кутів при внутрішній точці, а це кут . Маємо:

Що й потрібно було довести.

Доведено.

По доведеній теоремі видно, що сума кутів n-кутника залежить кількості його сторін (від n). Наприклад, у трикутнику , а сума кутів . У чотирикутнику, а сума кутів - і т.д.

Теорема. Про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника (n-кутника).

Де - кількість його кутів (сторон), а , ..., - Зовнішні кути.

Доказ. Зобразимо опуклий n-кутник Рис. 6 і позначимо його внутрішні та зовнішні кути.

Рис. 6. Випуклий n-кутник з позначеними зовнішніми кутами

Т.к. зовнішній кут пов'язаний з внутрішнім як суміжні, то і аналогічно інших зовнішніх кутів. Тоді:

У ході перетворень ми скористалися вже доведеною теоремою сумі внутрішніх кутів n-кутника .

Доведено.

З доведеної теореми випливає цікавий факт, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює від його кутів (сторон). До речі, на відміну суми внутрішніх кутів.

Список літератури

1. Александров А.Д. та ін. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрія, 8 клас. - М: Просвітництво, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якір С.М. Геометрія, 8 клас. - М: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Домашнє завдання