Розв'язання квадратних рівнянь з одним коренем. Квадратні рівняння. коротко про головне. Завдання на квадратне рівняння

Отримавши загальне уявлення про рівність , і познайомившись з одним з їх видів - числовими рівностями, можна почати розмову ще про один дуже важливий з практичної точки зору вид рівностей - про рівняння. У цій статті ми розберемо, що таке рівнянняі що називають коренем рівняння. Тут ми дамо відповідні визначення, а також наведемо різноманітні приклади рівнянь та їх коріння.

Навігація на сторінці.

Що таке рівняння?

Цілеспрямоване знайомство з рівняннями зазвичай починається під час уроків математики у 2 класі. В цей час дається таке визначення рівняння:

Визначення.

Рівняння- Це рівність, що містить невідоме число, яке треба знайти.

Невідомі числа в рівняннях прийнято позначати за допомогою маленьких латинських літер, наприклад, p, t, u і т.п., але найчастіше використовуються літери x, y та z.

Отже, рівняння визначається з позиції форми запису. Іншими словами, рівність є рівнянням, коли підпорядковується зазначеним правилам запису – містить літеру, значення якої необхідно знайти.

Наведемо приклади найперших і найперших простих рівнянь. Почнемо з рівнянь виду x = 8, y = 3 і т.п. Трохи складніше виглядають рівняння, що містять разом з числами та літерами знаки арифметичних дій, наприклад, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .

Різноманітність рівнянь зростає після знайомства з – починають з'являтися рівняння з дужками, наприклад, 2·(x−1)=18 та x+3·(x+2·(x−2))=3 . Невідома літера в рівнянні може бути кілька разів, наприклад, x+3+3·x−2−x=9 , також літери можуть бути в лівій частині рівняння, в його правій частині, або в обох частинах рівняння, наприклад, x· (3+1)−4=8 , 7−3=z+1 або 3·x−4=2·(x+12) .

Далі після вивчення натуральних чиселвідбувається знайомство з цілими, раціональними, дійсними числами, вивчаються нові математичні об'єкти: ступеня, коріння, логарифми і т.д., при цьому з'являються нові та нові види рівнянь, що містять ці речі. Їхні приклади можна переглянути у статті основні види рівнянь, що вивчаються у школі.

У 7 класі поряд із літерами, під якими мають на увазі деякі конкретні числа, починають розглядати літери, які можуть приймати різні значення, їх називають змінними (дивіться статтю). При цьому визначення рівняння впроваджується слово «змінна», і воно стає таким:

Визначення.

Рівняннямназивають рівність, що містить змінну, значення якої необхідно визначити.

Наприклад, рівняння x+3=6·x+7 – рівняння зі змінною x , а 3·z−1+z=0 – рівняння зі змінною z .

На уроках алгебри в тому ж 7 класі відбувається зустріч із рівняннями, що містять у своєму записі не одну, а дві різні невідомі змінні. Їх називають рівняннями із двома змінними. Надалі допускають присутність у записі рівнянь трьох та більшої кількості змінних.

Визначення.

Рівняння з одним, двома, трьома і т.д. змінними– це рівняння, що містять у своєму записі одну, дві, три, … невідомі змінні відповідно.

Наприклад, рівняння 3,2 · x + 0,5 = 1 - це рівняння з однією змінною x, у свою чергу рівняння виду x-y = 3 - це рівняння з двома змінними x і y. І ще один приклад: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Зрозуміло, що таке рівняння – це рівняння із трьома невідомими змінними x , y та z .

Що таке корінь рівняння?

З визначенням рівняння безпосередньо пов'язане визначення кореня цього рівняння. Проведемо деякі міркування, які допоможуть зрозуміти, що таке корінь рівняння.

Припустимо, маємо рівняння з однією літерою (змінною). Якщо замість літери, що входить до запису цього рівняння, підставити деяке число, то рівняння звернутися в числову рівність. Причому отримана рівність може бути як вірною, так і невірною. Наприклад, якщо замість літери a рівняння a+1=5 підставити число 2 , то вийде неправильна числова рівність 2+1=5 . Якщо ж у це рівняння підставимо замість a число 4 , то вийде правильну рівність 4+1=5 .

Насправді у переважній більшості випадків інтерес становлять такі значення змінної, підстановка яких у рівняння дає правильну рівність, ці значення називають корінням чи рішеннями цього рівняння.

Визначення.

Корінь рівняння– це значення літери (змінної), при підстановці якого рівняння звертається у правильне числове рівність.

Зазначимо, що корінь рівняння з однією змінною називають рішенням рівняння. Іншими словами, рішення рівняння та корінь рівняння – це одне й те саме.

Пояснимо це визначення на прикладі. Для цього повернемося до вищезаписаного рівняння a+1=5 . Згідно з озвученим визначенням кореня рівняння, число 4 є коренем цього рівняння, так як при підстановці цього числа замість літери a отримуємо правильну рівність 4+1=5 , а число 2 не є його коренем, тому що йому відповідає неправильна рівність виду 2+1= 5 .

На цей момент виникає ряд природних питань: «Чи будь-яке рівняння має корінь, і скільки коренів має задане рівняння»? Відповімо на них.

Існують як рівняння, що мають коріння, так і рівняння, що не мають коріння. Наприклад, рівняння x+1=5 має корінь 4 , а рівняння 0·x=5 немає коренів, оскільки яке б число ми підставили на це рівняння замість змінної x , ми отримаємо неправильне рівність 0=5 .

Щодо числа коренів рівняння, то існують як рівняння, що мають деяке кінцеве число коренів (один, два, три тощо), так і рівняння, що мають нескінченно багато коренів. Наприклад, рівняння x−2=4 має єдиний корінь 6 , корінням рівняння x 2 =9 є два числа −3 і 3 , рівняння x·(x−1)·(x−2)=0 має три корені 0 , 1 та 2 а рішенням рівняння x=x є будь-яке число, тобто, воно має нескінченну безліч коренів.

Кілька слів варто сказати про прийнятий запис коренів рівняння. Якщо рівняння не має коріння, то зазвичай так і пишуть «рівняння не має коріння», або застосовують знак порожньої множини ∅. Якщо рівняння має коріння, їх записують через кому, або записують як елементи множиниу фігурних дужках. Наприклад, якщо корінням рівняння є числа -1, 2 і 4, то пишуть -1, 2, 4 або (-1, 2, 4). Допустимо також записувати коріння рівняння у вигляді найпростіших рівностей. Наприклад, якщо рівняння входить літера x , і корінням цього рівняння є числа 3 і 5 , то можна записати x=3 , x=5 , також змінною часто додають нижні індекси x 1 =3 , x 2 =5 , як би вказуючи номери коріння рівняння. Нескінченна безліч коренів рівняння зазвичай записують у вигляді, також при можливості використовують позначення множин натуральних чисел N, цілих чисел Z, дійсних чисел R. Наприклад, якщо коренем рівняння зі змінною x є будь-яке ціле число, то пишуть , а якщо корінням рівняння зі змінною y є будь-яке дійсне число від 1 до 9 включно, записують .

Для рівнянь із двома, трьома та великою кількістю змінних, як правило, не застосовують термін «корінь рівняння», у цих випадках говорять «рішення рівняння». Що ж називають розв'язком рівнянь із декількома змінними? Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Рішенням рівняння із двома, трьома тощо. змінниминазивають пару, трійку тощо. значень змінних, що звертає це рівняння у правильну числову рівність.

Покажемо приклади, що пояснюють. Розглянемо рівняння із двома змінними x+y=7 . Підставимо в нього замість x число 1, а замість y число 2, при цьому маємо рівність 1+2=7. Очевидно, воно неправильне, тому пара значень x=1 , y=2 не є рішенням записаного рівняння. Якщо взяти пару значень x=4 , y=3 , то після підстановки рівняння ми прийдемо до правильної рівності 4+3=7 , отже, ця пара значень змінних за визначенням є рішенням рівняння x+y=7 .

Рівняння з декількома змінними, як і рівняння з однією змінною, можуть мати коренів, можуть мати кінцеве число коренів, а можуть мати і нескінченно багато коренів.

Пари, трійки, четвірки тощо. значень змінних часто записують коротко, перераховуючи їх значення через кому в круглих дужках. При цьому записані числа у дужках відповідають змінним в алфавітному порядку. Пояснимо цей момент, повернувшись до попереднього рівняння x+y=7. Розв'язання цього рівняння x=4 , y=3 коротко можна записати як (4, 3).

Найбільшу увагу у шкільному курсі математики, алгебри та початку аналізу приділяється знаходженню коренів рівнянь з однією змінною. Правила цього процесу ми дуже докладно розберемо у статті вирішення рівнянь.

Список літератури.

• Математика. 2 кл. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін.] - 3-тє вид. – М.: Просведення, 2012. – 96 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.

У суспільстві вміння виробляти дії з рівняннями, що містять змінну, зведену в квадрат, може стати у нагоді у багатьох галузях і широко застосовується практично у наукових і технічних разработках. Свідченням цього може бути конструювання морських і річкових судів, літаків і ракет. За допомогою подібних розрахунків визначають траєкторії переміщення різних тіл, у тому числі і космічних об'єктів. Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь знаходять застосування у економічному прогнозуванні, при проектуванні і будівництві будівель, а й у звичайних життєвих обставин. Вони можуть знадобитися в туристичних походах, на спортивних змаганнях, в магазинах під час покупок та інших дуже поширених ситуаціях.

Розіб'ємо вираз на складові множники

Ступінь рівняння визначається максимальним значенням ступеня у змінної, яку містить цей вираз. Якщо вона дорівнює 2, то подібне рівняння якраз і називається квадратним.

Якщо говорити мовою формул, то зазначені вирази, як би вони не виглядали, завжди можна привести до вигляду, коли ліва частина виразу складається з трьох доданків. Серед них: ax 2 (тобто змінна, зведена квадрат зі своїм коефіцієнтом), bx (невідоме без квадрата зі своїм коефіцієнтом) і c (вільна складова, тобто звичайне число). Все це в правій частині дорівнює 0. У випадку, коли у подібного багаточлена відсутня одна з його складових доданків, за винятком ax 2 воно називається неповним квадратним рівнянням. Приклади з розв'язанням таких завдань, значення змінних у яких знайти нескладно, слід розглянути насамперед.

Якщо вираз на вигляд виглядає таким чином, що доданків у виразу в правій частині два, точніше ax 2 і bx, найлегше відшукати їх винесенням змінної за дужки. Тепер наше рівняння виглядатиме так: x(ax+b). Далі стає очевидним, що або х=0, або завдання зводиться до знаходження змінної з наступного виразу: ax+b=0. Вказане продиктовано однією з властивостей множення. Правило говорить, що добуток двох множників дає в результаті 0, якщо один з них дорівнює нулю.

Приклад

x=0 або 8х - 3=0

В результаті одержуємо два корені рівняння: 0 та 0,375.

Рівняння такого роду можуть описувати переміщення тіл під дією сили тяжкості, що почали рух із певної точки, прийнятої початку координат. Тут математичний запис набуває такої форми: y = v 0 t + gt 2 /2. Підставивши необхідні значення, прирівнявши праву частину 0 і знайшовши можливі невідомі, можна дізнатися про час, що проходить з моменту підйому тіла до моменту його падіння, а також багато інших величин. Але про це ми поговоримо пізніше.

Розкладання виразу на множники

Описане вище правило дає можливість вирішувати зазначені завдання і у складніших випадках. Розглянемо приклади з розв'язуванням квадратних рівнянь такого типу.

X 2 – 33x + 200 = 0

Цей квадратний тричлен є повним. Спочатку перетворимо вираз і розкладемо його на множники. Їх виходить два: (x-8) і (x-25) = 0. У результаті маємо два корені 8 та 25.

Приклади з розв'язанням квадратних рівнянь у 9 класі дозволяють даним методом знаходити змінну у виразах не лише другого, а й третього та четвертого порядків.

Наприклад: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. При розкладанні правої частини на множники зі змінною їх виходить три, тобто (x+1),(x-3) і (x+3).

В результаті стає очевидним, що дане рівняння має три корені: -3; -1; 3.

Вилучення квадратного кореня

Іншим випадком неповного рівняння другого порядку є вираз, мовою букв представлене в такий спосіб, що права частина будується з складових ax 2 і з. Тут для отримання значення змінної вільний член переноситься у праву сторону, а потім з обох частин рівності витягується квадратний корінь. Слід звернути увагу, що і в даному випадкукоріння рівняння зазвичай буває два. Винятком можуть бути лише рівності, взагалі які містять доданок з, де змінна дорівнює нулю, і навіть варіанти висловів, коли права частина виявляється негативною. У разі рішень взагалі немає, оскільки зазначені вище дії неможливо виробляти з корінням. Приклади розв'язків квадратних рівнянь такого типу слід розглянути.

У разі корінням рівняння виявляться числа -4 і 4.

Обчислення пощади земельної ділянки

Потреба в подібних обчисленнях з'явилася в давнину, адже розвиток математики багато в чому в ті далекі часи було обумовлено необхідністю визначати з найбільшою точністю площі і периметри земельних ділянок.

Приклади з розв'язуванням квадратних рівнянь, складених на основі завдань такого роду, слід розглянути нам.

Отже, припустимо, є прямокутна ділянка землі, довжина якої на 16 метрів більша, ніж ширина. Слід знайти довжину, ширину і периметр ділянки, якщо відомо, що площа дорівнює 612 м 2 .

Приступаючи до справи, спершу складемо необхідне рівняння. Позначимо за x ширину ділянки, тоді його довжина виявиться (х +16). З написаного випливає, що площа визначається виразом х(х+16), що згідно з умовою нашого завдання становить 612. Це означає, що х(х+16) = 612.

Вирішення повних квадратних рівнянь, а цей вираз є саме таким, не може виконуватися колишнім способом. Чому? Хоча ліва частина його, як і раніше, містить два множники, добуток їх зовсім не дорівнює 0, тому тут застосовуються інші методи.

Дискримінант

Насамперед зробимо необхідні перетворення, тоді зовнішній виглядданого виразу буде виглядати таким чином: x 2 + 16x - 612 = 0. Це означає, що ми отримали вираз у формі, що відповідає зазначеному раніше стандарту, де a=1, b=16, c=-612.

Це може стати прикладом розв'язання квадратних рівнянь через дискримінант. Тут необхідні розрахункивиробляються за схемою: D = b 2 – 4ac. Ця допоміжна величина не просто дає можливість знайти шукані величини в рівнянні другого порядку, вона визначає кількість можливих варіантів. Якщо D>0, їх два; при D = 0 існує один корінь. У випадку, якщо D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Про коріння та його формулу

У разі дискримінант дорівнює: 256 - 4(-612) = 2704. Це свідчить, що у нашого завдання існує. Якщо знати, до , Розв'язок квадратних рівнянь потрібно продовжувати із застосуванням нижче наведеної формули. Вона дозволяє обчислити коріння.

Це означає, що у цьому випадку: x 1 =18, x 2 =-34. Другий варіант у цій дилемі не може бути рішенням, тому що розміри земельної ділянки не можуть вимірюватися в негативних величинах, отже х (тобто ширина ділянки) дорівнює 18 м. Звідси обчислюємо довжину: 18+16=34 і периметр 2(34+ 18) = 104 (м 2).

Приклади та завдання

Продовжуємо вивчення квадратних рівнянь. Приклади та детальне рішення кількох з них будуть наведені далі.

1) 15x2+20x+5=12x2+27x+1

Перенесемо все в ліву частину рівності, зробимо перетворення, тобто отримаємо вид рівняння, яке прийнято називати стандартним, і прирівняємо його нулю.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Склавши подібні, визначимо дискримінант: D = 49 - 48 = 1. Значить у нашого рівняння буде два корені. Обчислимо їх згідно з наведеною вище формулою, а це означає, що перший з них дорівнює 4/3, а другий 1.

2) Тепер розкриємо загадки іншого.

З'ясуємо, чи взагалі є тут коріння x 2 - 4x + 5 = 1? Для отримання вичерпної відповіді наведемо багаточлен до відповідного звичного вигляду та обчислимо дискримінант. У зазначеному прикладі рішення квадратного рівняння виконувати не обов'язково, адже суть завдання полягає зовсім не в цьому. У разі D = 16 - 20 = -4, отже, коріння дійсно немає.

Теорема Вієта

Квадратні рівняннязручно вирішувати через зазначені вище формули і дискримінант, коли значення останнього витягується квадратний корінь. Але це не завжди. Проте способів отримання значень змінних у разі існує безліч. Приклад: розв'язання квадратних рівнянь з теореми Вієта. Вона названа на честь який жив у XVI столітті у Франції та зробив блискучу кар'єру завдяки своєму математичному таланту та зв'язкам при дворі. Портрет його можна побачити у статті.

Закономірність, яку помітив уславлений француз, полягала в наступному. Він довів, що корені рівняння у сумі чисельно рівні -p=b/a, які твір відповідає q=c/a.

Тепер розглянемо конкретні завдання.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Для простоти перетворюємо вираз:

x 2 + 7x – 18 = 0

Скористаємося теоремою Вієта, це дасть нам таке: сума коренів дорівнює -7, а їх твір -18. Звідси отримаємо, що корінням рівняння є числа -9 і 2. Зробивши перевірку, переконаємось, що ці значення змінних справді підходять у виразі.

Графік та рівняння параболи

Поняття квадратична функція та квадратні рівняння тісно пов'язані. Приклади такого вже були наведені раніше. Тепер розглянемо деякі математичні загадки трохи докладніше. Будь-яке рівняння описуваного типу можна наочно. Подібна залежність, намальована як графіка, називається параболою. Різні її види представлені малюнку нижче.

Будь-яка парабола має вершину, тобто точку, з якої виходять її гілки. Якщо a>0, вони йдуть високо в нескінченність, а коли a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Наочні зображення функцій допомагають вирішувати будь-які рівняння, зокрема квадратні. Цей метод називається графічним. А значенням змінної х є координата абсцис у точках, де відбувається перетин лінії графіка з 0x. Координати вершини можна дізнатися за наведеною формулою x 0 = -b/2a. І, підставивши отримане значення початкове рівняння функції, можна дізнатися y 0 , тобто другу координату вершини параболи, що належить осі ординат.

Перетин гілок параболи з віссю абсцис

Прикладів із розв'язанням квадратних рівнянь дуже багато, але є й загальні закономірності. Розглянемо їх. Зрозуміло, що перетин графіка з віссю 0x при a>0 можливий тільки якщо у 0 приймає від'ємні значення. А для a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Інакше D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

За графіком параболи можна визначити коріння. Правильне також зворотне. Тобто, якщо отримати наочне зображення квадратичної функції нелегко, можна прирівняти праву частину виразу до 0 і вирішити отримане рівняння. А знаючи точки перетину з віссю 0x, легко побудувати графік.

З історії

За допомогою рівнянь, що містять змінну, зведену в квадрат, за старих часів не тільки робили математичні розрахунки і визначали площі геометричних фігур. Подібні обчислення стародавнім були потрібні для грандіозних відкриттів у галузі фізики та астрономії, а також для складання астрологічних прогнозів.

Як припускають сучасні діячі науки, одними з перших розв'язання квадратних рівнянь зайнялися жителі Вавилону. Сталося це за чотири сторіччя до настання нашої ери. Зрозуміло, їх обчислення докорінно відрізнялися від нині прийнятих і виявлялися набагато примітивнішими. Наприклад, месопотамські математики гадки не мали про існування негативних чисел. Незнайомі їм були інші тонкощі з тих, які знає будь-який школяр сучасності.

Можливо, ще раніше за вчених Вавилона рішенням квадратних рівнянь зайнявся мудрець з Індії Баудхаяма. Сталося це приблизно за вісім століть до настання ери Христа. Щоправда, рівняння другого порядку, способи вирішення яких він навів, були найпростішими. Крім нього, подібними питаннями цікавилися за старих часів і китайські математики. У Європі квадратні рівняння почали вирішувати лише на початку XIII століття, проте пізніше їх використовували у своїх роботах такі великі вчені, як Ньютон, Декарт і багато інших.

Завдання на квадратне рівняння вивчаються і у шкільній програмі, і у ВНЗ. Під ними розуміють рівняння виду a * x ^ 2 + b * x + c = 0 де x -змінна, a, b, c – константи; a<>0 . Завдання полягає у відшуканні коренів рівняння.

Геометричний сенс квадратного рівняння

Графіком функції, представленої квадратним рівнянням є парабола. Рішення (коріння) квадратного рівняння - це точки перетину параболи з віссю абсцис (х). З цього випливає, що є три можливі випадки:
1) парабола не має точок перетину з віссю абсцис. Це означає, що вона знаходиться у верхній площині з гілками вгору або нижній з гілками вниз. У таких випадках квадратне рівняння не має дійсних коренів (має два комплексні корені).

2) парабола має одну точку перетину з віссю Ох. Таку точку називають вершиною параболи, а квадратне рівняння в ній набуває свого мінімального або максимального значення. У цьому випадку квадратне рівняння має один дійсний корінь (або два однакові корені).

3) Останній випадок практично цікавий більше - існує дві точки перетину параболи з віссю абсцис. Це означає, що існує два дійсних кореня рівняння.

На основі аналізу коефіцієнтів при ступенях змінних можна зробити цікаві висновки щодо розміщення параболи.

1) Якщо коефіцієнт а більший за нуль то парабола спрямована гілками вгору, якщо негативний - гілки параболи направлені вниз.

2) Якщо коефіцієнт b більший за нуль, то вершина параболи лежить у лівій півплощині, якщо набуває негативного значення - то у правій.

Висновок формули для вирішення квадратного рівняння

Перенесемо константу з квадратного рівняння

за знак рівності, отримаємо вираз

Помножимо обидві частини на 4а

Щоб отримати зліва повний квадрат додамо в обох частинах b^2 і здійснимо перетворення

Звідси знаходимо

Формула дискримінанта та коріння квадратного рівняння

Дискримінантом називають значення підкореного виразуЯкщо він позитивний то рівняння має два дійсні корені, що обчислюються за формулою При нульовому дискримінанті квадратне рівняння має одне рішення (два збігаються корені), які легко отримати з наведеної вище формули при D=0 При негативному дискримінанті рівняння дійсних коренів немає. Проте ісують розв'язки квадратного рівняння у комплексній площині, та їх значення обчислюють за формулою

Теорема Вієта

Розглянемо два корені квадратного рівняння і побудуємо на їх основі квадратне рівняння. З запису легко слідує сама теорема Вієта: якщо маємо квадратне рівняння виду то сума його коренів дорівнює коефіцієнту p, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів рівняння дорівнює вільному доданку q. Формульний запис вищесказаного матиме вигляд Якщо в класичному рівнянні константа а відмінна від нуля, то потрібно розділити на неї все рівняння, а потім застосовувати теорему Вієта.

Розклад квадратного рівняння на множники

Нехай поставлене завдання розкласти квадратне рівняння на множники. Для його виконання спочатку розв'язуємо рівняння (знаходимо коріння). Далі, знайдене коріння підставляємо у формулу розкладання квадратного рівняння. На цьому завдання буде вирішено.

Завдання на квадратне рівняння

Завдання 1. Знайти коріння квадратного рівняння

x^2-26x+120=0.

Рішення: Запишемо коефіцієнти та підставимо у формулу дискримінанта

Корінь з даного значення дорівнює 14 його легко знайти з калькулятором, або запам'ятати при частому використанні, однак для зручності, в кінці статті я Вам дам список квадратів чисел, які часто можуть зустрічатися при подібних завданнях.
Знайдене значення підставляємо у формулу коріння

і отримуємо

Завдання 2. Розв'язати рівняння

2x2+x-3=0.

Рішення: Маємо повне квадратне рівняння, виписуємо коефіцієнти та знаходимо дискримінант


За відомими формулами знаходимо коріння квадратного рівняння

Завдання 3. Розв'язати рівняння

9x2-12x+4=0.

Рішення: Маємо повне квадратне рівняння. Визначаємо дискримінант

Одержали випадок коли коріння збігається. Знаходимо значення коріння за формулою

Завдання 4. Розв'язати рівняння

x^2+x-6=0.

Рішення: У випадках коли є малі коефіцієнти при їх доцільно застосовувати теорему Вієта. За її умовою отримуємо два рівняння

З другої умови отримуємо, що твір має бути рівним -6 . Це означає, що один з коренів негативний. Маємо наступну можливу пару рішень (-3; 2), (3; -2). З урахуванням першої умови другу пару рішень відкидаємо.
Коріння рівняння рівні

Завдання 5. Знайти довжини сторін прямокутника, якщо його периметр 18 см, а площа 77 см 2 .

Рішення: Половина периметра прямокутника дорівнює сумі сусідніх сторін. Позначимо х – більшу сторону, тоді 18-x менша його сторона. Площа прямокутника дорівнює добутку цих довжин:
х(18-х) = 77;
або
х 2 -18х +77 = 0.
Знайдемо дискримінант рівняння

Обчислюємо корені рівняння

Якщо х = 11,то 18-х = 7,навпаки теж справедливо (якщо х=7, то 21-х=9).

Задача 6. Розкласти квадратне 10x2-11x+3=0 рівняння на множники.

Рішення: Обчислимо корені рівняння, для цього знаходимо дискримінант

Підставляємо знайдене значення у формулу коренів та обчислюємо

Застосовуємо формулу розкладання квадратного рівняння за корінням

Розкривши дужки отримаємо тотожність.

Квадратне рівняння з параметром

Приклад 1. При яких значеннях параметра а ,рівняння (а-3) х 2 + (3-а) х-1/4 = 0 має один корінь?

Рішення: Прямою підстановкою значення а=3 бачимо, що вона не має рішення. Далі скористаємося тим, що за нульового дискримінанта рівняння має один корінь кратності 2 . Випишемо дискримінант

спростимо його і прирівняємо до нуля

Отримали квадратне рівняння щодо параметра а рішення якого легко отримати по теоремі Вієта. Сума коренів дорівнює 7 , а їх добуток 12 . Простим перебором встановлюємо, що числа 3,4 будуть корінням рівняння. Оскільки рішення а=3 ми вже відкинули на початку обчислень, єдиним правильним буде - а=4.Таким чином, за а=4 рівняння має один корінь.

Приклад 2. При яких значеннях параметра а ,рівняння а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0має більше одного кореня?

Рішення: Розглянемо спочатку спеціальні точки, ними будуть значення а = 0 і а = -3 . При а = 0 рівняння спроститься до виду 6х-9 = 0; х = 3/2 і буде один корінь. При а=-3 отримаємо тотожність 0=0.
Обчислимо дискримінант

і знайдемо значення а при якому воно позитивне

З першої умови отримаємо а>3. Для другого знаходимо дискримінант та коріння рівняння


Визначимо проміжки де функція приймає позитивні значення. Підстановкою точки а = 0 отримаємо 3>0 . Отже, поза проміжку (-3;1/3) функція негативна. Не варто забувати про точку а = 0,яку слід виключити, оскільки у ній вихідне рівняння має один корінь.
В результаті отримаємо два інтервали, які задовольняють умові задачі

Подібних завдань на практиці буде багато, постарайтеся розібратися із завданнями самостійно та не забувайте враховувати умови, які взаємовиключають одне одного. Добре вивчіть формули для вирішення квадратних рівнянь, вони досить часто потрібні при обчисленнях в різних завданнях і науках.

Копіївська сільська середня загальноосвітня школа

10 способів розв'язання квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеєва Галина Анатоліївна,

учитель математики

с.Коп'єво, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

1.2 Як складав та вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал- Хорезмі

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст.

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Висновок

Література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до зв. е. вавилоняни.

Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасним, проте невідомо, як дійшли вавилоняни цього правила. Майже всі знайдені до цього часу клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.

1.2 Як складав та вирішував Діофант квадратні рівняння.

В «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються поясненнями та вирішуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одне з його завдань.

Завдання 11.«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір – 96»

Діофант розмірковує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х, інше ж менше, тобто. 10 - х. Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел рівне 12 , інше 8 . Рішення х = -2для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до вирішення рівняння

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, що, вибираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання розв'язання неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений Брахмагупта (VII ст.) виклав загальне правилорозв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:

ах 2+ b х = с, а > 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцієнти, крім аможуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань таке: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людиназатьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи.

Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, у цій зграї?

Рішення Бхаскари свідчить, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскар пише під виглядом:

х 2 - 64х = -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал – Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, виражаючи їх так:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто. ах 2 + с = b х.

2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто. ах 2 = с.

3) «Коріння рівні числу», тобто. ах = с.

4) «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах 2 + с = b х.

5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто. ах 2+ bx = с.

6) «Коріння та числа дорівнюють квадратам», тобто. bx + с = ах 2.

Для ал - Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а чи не віднімаються. При цьому явно не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Його рішення, звісно, ​​не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім і геометричні докази.

Завдання 14.«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: розділи навпіл число коренів, отримаєш 5, помножиш 5 саме на себе, від твору відними 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою книгою, що дійшла до нас, в якій систематично викладено класифікацію квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII вв

Формули розв'язання квадратних рівнянь за зразком ал-Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Ця об'ємна праця, в якій відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавню Грецію, Відзначається і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже у всі європейські підручники XVI – XVII ст. та частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду:

х 2+ bx = с,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , збуло сформульовано у Європі лише 1544 р. М. Штифелем.

Висновок формули розв'язання квадратного рівняння в загальному виглядіє у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. Враховують, крім позитивних, і негативне коріння. Лише XVII в. Завдяки праці Жірара, Декарта, Ньютона та інших учених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 наступним чином: «Якщо B + D, помножене на A - A 2 , одно BD, то Aодно Ві одно D ».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і будь-яка голосна літера, означало в нього невідоме (наше х), голосні ж В, D- Коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає: якщо має місце

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, Записаними за допомогою символів, Вієт встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.

2. Способи розв'язання квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому лежить велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при розв'язанні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентних рівнянь та нерівностей. Усі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

Відеоурок 2: Розв'язання квадратних рівнянь

Лекція: Квадратні рівняння

Рівняння- це певна рівність, у висловлюваннях якого є змінна.

Розв'язати рівняння- значить знайти таке число замість змінної, яке приводитиме його у правильну рівність.

Рівняння може мати одне рішення або кілька, або не мати його взагалі.

Для вирішення будь-якого рівняння його слід максимально спростити:

Лінійне: a * x = b;

Квадратне: a * x 2 + b * x + c = 0.

Тобто будь-яке рівняння перед рішенням необхідно перетворити до стандартного виду.

Будь-яке рівняння можна вирішити двома способами: аналітичним та графічним.

На графіку рішенням рівняння вважаються точки, у яких графік перетинає вісь ОХ.

Квадратні рівняння

a * x 2 + b * x + c = 0.

При цьому a, b, cє коефіцієнтами рівняння, що відрізняються від нуля. А "х"- корінь рівняння. Вважається, що квадратне рівняння має два корені або може не мати рішення взагалі. Отримані коріння можуть бути однаковими.

"а"- Коефіцієнт, який стоїть перед коренем у квадраті.

"b"- стоїть перед невідомою першою мірою.

"с"- Вільний член рівняння.

Якщо, наприклад, маємо рівняння виду:

2х2-5х+3=0

У ньому "2" - це коефіцієнт за старшого члена рівняння, "-5" - другий коефіцієнт, а "3" - вільний член.

Розв'язання квадратного рівняння

Існує безліч способів розв'язання квадратного рівняння. Проте, у шкільному курсі математики вивчається рішення з теоремі Вієта, і навіть з допомогою дискримінанта.

Рішення щодо дискримінанта:

При вирішенні за допомогою даного методунеобхідно обчислити дискримінант за такою формулою:

Якщо при обчисленнях Ви отримали, що дискримінант менший за нуль, це означає, що дане рівняння не має рішень.

Якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два однакові рішення. У такому випадку багаточлен можна згорнути за формулою скороченого множення квадрат суми або різниці. Після чого вирішити його, як лінійне рівняння. Або скористатися формулою:

Якщо ж дискримінант більший за нуль, то необхідно скористатися наступним методом:

Теорема Вієта

Якщо наведене рівняння, тобто коефіцієнт при старшому члені дорівнює одиниці, то можна скористатися теорема Вієта.

Отже, припустимо, що рівняння має вигляд:

Коріння рівняння знаходиться так:

Неповне квадратне рівняння

Існує кілька варіантів отримання неповного квадратного рівняння, вид яких залежить наявності коефіцієнтів.

1. Якщо другий і третій коефіцієнт дорівнює нулю (b = 0, с = 0), то квадратне рівняння матиме вигляд:

Це рівняння матиме єдине рішення. Рівність буде вірним тільки в тому випадку, коли рішенням рівняння буде нуль.