Лінійні диференціальні рівняння другого порядку. Фундаментальна система рішень. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, методи розв'язання, приклади Рішення системи 2 порядку

Більшість справжніх систем нелінійні, тобто. поведінка системи описується рівняннями:

Часто практично нелінійні системи можна апроксимувати лінійної у певній обмеженої області.

Припустимо, що
для рівняння (1) відомо. Замінимо систему (1,2) підставивши початкові умови

Припускаємо, що початкові стани та вхідна змінна змінено так, що новий стан та вхідна змінна має такий вигляд.

Вихід
знайдемо внаслідок розв'язання обурених рівнянь.

Розкладемо праву частину до ряду Тейлора.

-залишковий член похибки другого порядку малості.

Віднімаючи вихідне рішення з розкладів, отримуємо наступні лінеаризовані рівняння:

.

Приватні похідні позначимо як коефіцієнти, що залежать від часу

Ці вирази можна переписати у вигляді

Отримаємо лінеаризовані рівняння у точках рівноваги
.

. У точці

Вирішення цього рівняння

Продиференціюємо праву частину вихідного рівняння по x, отримаємо

.

Виконаємо лінеаризацію рівняння для довільного початкового значення
.

Отримуємо лінеаризовану систему у вигляді нестаціонарного рівняння

Рішення лінеаризованої системи має вигляд:

.

1.7. Типові впливи, що обурюють

Зовнішні впливи, що обурюють, можуть мати різний характер:

миттєвої дії у вигляді імпульсу та постійної дії.

Якщо продиференціювати у часі
, то
, отже(t)- функція є похідну у часі одиничного ступінчастого впливу.

(t)- функція при інтегруванні має наступні фільтруючі властивості:

Інтегрований добуток довільної функції
и(t)- функції відфільтровує із усіх значень
тільки те, що відповідає моменту застосування миттєвого одиничного імпульсу.

2 U. Системи другого порядку

2.1.Приведення рівнянь другого порядку до систем рівнянь першого порядку

Приклад лінійної стаціонарної системи.

Інший опис цієї системи другого порядку дається парою пов'язаних диференціальних рівнянь першого порядку

(2)

де зв'язок між коефіцієнтами цих рівнянь визначається такими співвідношеннями

2.2. Розв'язання рівнянь другого порядку

Застосовуючи диференціальний оператор
рівняння можна у більш компактному вигляді

Вирішується рівняння (1) у 3 етапи:

1) знаходимо загальне рішення однорідного рівняння;

2) знаходимо приватне рішення ;

3) повне рішення є сумою цих двох рішень
.

Розглядаємо однорідне рівняння

шукатимемо рішення у формі

(5)

де
дійсна чи комплексна величина. При підстановці (5) (4) отримуємо

(6)

Цей вираз є рішенням однорідного рівняння, якщо sзадовольняє характеристичного рівняння

При s 1  s 2 рішення однорідного рівняння має вигляд

Тоді шукаємо рішення у вигляді
і підставляючи його у вихідне рівняння

Звідки випливає, що
.

Якщо вибрати

. (8)

Приватне рішення вихідного рівняння (1) шукаємо методом варіації
у формі

виходячи з (11), (13) отримуємо систему

Повне вирішення рівняння.

Заміною змінних отримаємо рівняння другого порядку:

ФАЗОВА ПЛОЩИНА

Двовимірним просторовим станом або фазовою площиною називається площина, в якій два змінні стани розглядаються у прямокутній системі координат

- ці змінні стани утворюють вектор
.

Г рафік зміни
утворює траєкторію руху. Необхідно вказати напрямок руху траєкторії.

Стан рівноваги називається такий стан , в якому система залишається за умови, що
Стан рівноваги можна визначити (якщо воно існує) із співвідношень

за будь-якого t.

Стан рівноваги іноді називаються критичними, основними або нульовими точками.

Траєкторії системи що неспроможні перетинатися друг з одним у просторі, що випливає і єдиності рішення диференціального рівняння.

Жодна траєкторія не проходить через стан рівноваги хоч і можуть як завгодно близько наближатися до особливих точок (при
) .

Типи точок

1 Регулярна точка є будь-яка точка, якою може проходити траєкторія, точка рівноваги не є регулярною.

2.Точка рівноваги ізольована, якщо її малої околиці містяться лише регулярні точки.

Розглянемо систему

Для визначення стану рівноваги розв'яжемо наступну систему рівнянь

.

Отримуємо залежність між змінними станами
.

будь-яка точка якої є стан рівноваги. Ці точки не є ізольованими.

Зауважимо, що для лінійної стаціонарної системи

початковий стан виявляється станом рівноваги та ізольованим, якщо детермінант матриці коефіцієнтів
тоді
є стан рівноваги.

Для нелінійної системи другого порядку стан рівноваги називається простимякщо відповідна матриця Якобі не дорівнює 0.

В іншому випадку стан не буде простим. Якщо точка рівноваги є простою, вона ізольована. Зворотне твердження не обов'язково вірне (за винятком випадку лінійних стаціонарних систем).

Розглянемо рішення рівняння стану для лінійної системи другого порядку:
.

Цю систему можна уявити двома рівняннями першого порядку,

позначимо
,

Характеристичне рівняння
та рішення буде наступним:

Рішення рівняння записується у вигляді

Тут ми застосуємо метод варіації постійних лагранжів для вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку. Докладний опис цього методу для вирішення рівнянь довільного порядку викладено на сторінці
Вирішення лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь вищих порядків методом Лагранжа >>>.

Приклад 1

Розв'язати диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами методом варіації постійних Лагранжа:
(1)

Рішення

Спочатку ми вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:
(2)

Це рівняння другого порядку.

Розв'язуємо квадратне рівняння:
.
Коріння кратне: . Фундаментальна система розв'язків рівняння (2) має вигляд:
(3) .
Звідси отримуємо загальне рішення однорідного рівняння (2):
(4) .

Варіювати постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (4) постійні і на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(5) .

Знаходимо похідну:
.
Зв'яжемо функції та рівнянням:
(6) .
Тоді
.

Знаходимо другу похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння (1):
(1) ;



.
Оскільки і задовольняють однорідне рівняння (2), то сума членів у кожному стовпці останніх трьох рядків дає нуль і попереднє рівняння набуває вигляду:
(7) .
Тут.

Разом з рівнянням (6) ми отримуємо систему рівнянь для визначення функцій та :
(6) :
(7) .

Вирішення системи рівнянь

Вирішуємо систему рівнянь (6-7). Випишемо вирази для функцій і:
.
Знаходимо їх похідні:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (6-7) методом Крамера. Обчислюємо визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

Отже, ми знайшли похідні функції:
;
.
Інтегруємо (див. Методи інтегрування коріння). Робимо підстановку
; ; ; .

.
.

;
.

Відповідь

Приклад 2

Розв'язати диференціальне рівняння методом варіації постійних Лагранжа:
(8)

Рішення

Крок 1. Вирішення однорідного рівняння

Вирішуємо однорідне диференціальне рівняння:

(9)
Шукаємо рішення у вигляді. Складаємо характеристичне рівняння:

Це рівняння має комплексне коріння:
.
Фундаментальна система рішень, що відповідає цим корінням, має вигляд:
(10) .
Загальне рішення однорідного рівняння (9):
(11) .

Крок 2. Варіація постійних – заміна постійних функціями

Тепер варіюємо постійні C 1 та C 2 . Тобто замінимо на (11) постійні на функції:
.
Шукаємо рішення вихідного рівняння (8) у вигляді:
(12) .

Далі хід рішення виходить таким самим, як у прикладі 1. Ми приходимо до наступної системи рівнянь для визначення функцій і :
(13) :
(14) .
Тут.

Вирішення системи рівнянь

Вирішуємо цю систему. Випишемо висловлювання функцій і:
.
З таблиці похідних знаходимо:
;
.

Вирішуємо систему рівнянь (13-14) методом Крамера. Визначник матриці системи:

.
За формулами Крамера знаходимо:
;
.

.
Оскільки знак модуля під знаком логарифму можна опустити. Помножимо чисельник і знаменник на :
.
Тоді
.

Загальне рішення вихідного рівняння:


.

Теоретично систем лінійних рівнянь та деяких інших питаннях зручно використовувати поняття визначника, чи детермінанта.

Розглянемо якусь четвірку чисел записаних у вигляді квадратної таблиці (матриці) по два в рядках та по два у стовпцях. Визначником або детермінантом, складеним із чисел цієї таблиці, називається число , що позначається так:

Такий визначник називається визначником другого порядку, оскільки для його складання взято таблицю з двох рядків та двох стовпців. Числа, у тому числі складений визначник, називаються його елементами, у своїй кажуть, що елементи становлять головну діагональ визначника, а елементи - його побічну діагональ. Видно, що визначник дорівнює різниці творів пар елементів, що стоять на його головній та побічній діагоналях.

Приклад 1. Обчислити такі визначники другого порядку:

Рішення, а) За визначенням маємо

За допомогою визначників можна рівності (66.6), (66.7) та (66.8) переписати, помінявши місцями їх частини, так:

Зауважимо, що визначники дуже складаються за коефіцієнтами системи (66.2).

Дійсно, визначник складається з коефіцієнтів за невідомих у цій системі. Він називається головним визначником системи (66.2). Назвемо визначниками для невідомих х і відповідно. Можна сформулювати таке правило їх складання: визначник для кожної з невідомих виходить з головного визначника, якщо в ньому стовпець коефіцієнтів при цій невідомій замінити стовпцем вільних членів (взяти з правих частин рівнянь системи).

Приклад 2. Систему (66.12) вирішити з допомогою визначників.

Рішення. Складаємо та обчислюємо головний визначник даної системи:

Тепер у ньому замінимо стовпець коефіцієнтів за х (перший стовпець) вільними членами. Отримаємо визначник для х:

Подібним чином знайдемо

Звідси за формулами (66.11) отримуємо

Ми прийшли до вже відомого рішення (1, -1).

Проведемо тепер дослідження системи лінійних рівнянь (66.2). Для цього повернемося до рівностей (66.9) та (66.10) і розрізнятимемо два випадки:

Нехай тоді, як зазначалося, формули (66.11) дають єдине рішення системи (66.2). Отже, якщо головний визначник системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, що визначається формулами (66.11); така система називається певною.

2) Нехай тепер. Залежно від значень розрізнятимемо два випадки.

а) Хоча б один із визначників відмінний від нуля; тоді система (66.2) немає рішень. Справді, хай, наприклад, . Рівність (66.9) неспроможна задовольнятися за жодному значенні оскільки це рівність отримано як наслідок системи (66.2), то система немає рішень. Така система називається несумісною.

б) Обидва визначники дорівнюють нулю; рівності (66.9) та (66.10) задовольняються тотожно і для дослідження системи (66.2) використані бути не можуть.

Доведемо, що якщо хоча б один з коефіцієнтів при невідомих у системі (66.2) відмінний від нуля, то система має безліч рішень. Щоб переконатися в цьому, скажімо, наприклад, що . Зі співвідношень

та із запису другого рівняння системи (66.2), підставляючи в нього вирази коефіцієнтів

знайдемо, що він відрізняється від першого рівняння лише множником т. е., сутнісно, ​​збігається з ним (рівносильно йому). Система (66.2) зводиться до одного лише першому рівнянню і визначає безліч рішень (така система називається невизначеною). Можливий, в принципі, і такий крайній випадок, як рівність нуля всіх коефіцієнтів за невідомих (він може зустрітися при дослідженні систем з літерними коефіцієнтами). Така система

всі визначники дорівнюють нулю: однак, вона є несумісною при або .

Підіб'ємо підсумки дослідження системи лінійних рівнянь (66.2). Є три види таких систем:

1) Якщо , то певна система, має єдине рішення (66.11).

2) Якщо , але система несумісна, рішень немає.

3) Якщо хоча б один з коефіцієнтів при невідомих відмінний від нуля), то система невизначена, має безліч рішень (зводиться до одного рівняння).

Рівність нулю визначника,

означає пропорційність елементів, що стоять у його рядках (і назад):

З огляду на це ознаки, які відрізняють лінійні системи різних типів (певні, невизначені, несумісні), може бути сформульовані в термінах пропорцій між коефіцієнтами системи (без залучення визначників).

Умова замінюється тому вимогою пропорційності (непропорційності) коефіцієнтів при невідомих:

У цьому випадку виявляються пропорційними як коефіцієнти при невідомих, а й вільні члени:

(ці пропорції виходять, наприклад, (67.6)). Якщо ж, наприклад, ДО, то з (66.6) бачимо, що вільні члени не пропорційні коефіцієнтам при невідомих. Отже:

1) Якщо коефіцієнти за невідомих не пропорційні:

то система певна.

2) Якщо коефіцієнти за невідомих пропорційні, а вільні члени їм не пропорційні:

то система несумісна.

3) Якщо пропорційні коефіцієнти при невідомих та вільних членах:

то система невизначена.

Проведене дослідження систем лінійних рівнянь із двома невідомими припускає просте геометричне тлумачення. Будь-яке лінійне рівняння виду (38.4) визначає на координатній площині пряму лінію. p align="justify"> Рівняння системи (66.2) можна тому тлумачити як рівняння двох прямих на площині, а задачу вирішення системи - як задачу про відшукання точки перетину цих прямих.

Ясно, що можливі три випадки: 1) ці дві прямі перетинаються (рис. 61, а); цей випадок відповідає певній системі; 2) дані дві прямі паралельні (рис. 61 б); цей випадок відповідає несумісній системі;

3) дані прямі збігаються (рис. 61, в); цей випадок відповідає невизначеній системі: кожна точка «двічі заданої» прямою буде рішенням системи.

Приклад 3. Дослідити лінійні системи:

Рішення, а) Складемо та обчислимо головний визначник даної системи.

Визначення. Визначником другого порядку

(*)

; ;

Теоретично можливі наступні три випадки.

1. Якщо , то система (*) має єдине рішення, яке можна знайти за формулами, які називаються формулами Крамера: , .

2. Якщо , а (тоді і), то система (*) немає рішень.

3. Якщо і (тоді і ), то система (*) має безліч рішень (а саме, кожне рішення одного рівняння системи є і рішенням іншого її рівняння).

Зауваження. Визначник називається головним визначником системи (*). Систему можна вирішувати за формулами Крамера лише за умови. Інакше потрібно використовувати інші методи, наприклад, метод Гауса.

Визначник третього порядку. Розв'язання системи трьох лінійних рівнянь із трьома змінними за формулами Крамера

Визначення. Визначником третього порядкуназивається число, яке записується та обчислюється наступним чином:

Нехай дана система рівнянь виду (*)

Введемо на розгляд такі визначники:

- Головний визначник системи (*);

; ; .

При вирішенні системи можливі такі випадки.

1. Якщо , то система (*) має єдине рішення, яке можна знайти за формулами, які називаються формулами Крамера: .

2. Якщо , то вирішити систему (1) методом Крамера не можна.

Примітка 1.У цьому випадку система може не мати рішень або мати безліч рішень. Для детальнішого дослідження та знаходження загальної системи рішення можна використовувати, наприклад, метод Гауса.

Розв'язання системи трьох лінійних рівнянь із трьома змінними

Методом Гауса

Суть методу Гаус розглянемо на конкретному прикладі.

приклад.Розв'язати систему рівнянь: (*)

Прямий хід.Ця система наводиться до трикутного вигляду поетапно шляхом алгебраїчного складання.

На першому етапі виключимо з другого та третього рівнянь системи доданки, що містять змінну . Краще використовувати в обох випадках одне й те саме рівняння (ми візьмемо перше).

Отримуємо:

Перше рівняння системи перепишемо без змін, а друге та третє рівняння замінимо отриманими рівняннями.

Система набуде вигляду:

На другому етапі виключимо з третього рівняння системи доданок, що містить змінну . Використовуємо для цього друге рівняння.

Перші два рівняння системи перепишемо без зміни, а третє рівняння замінимо отриманим рівнянням.

Отримуємо систему трикутного вигляду:

Зворотній хід.Послідовно знаходимо невідомі, починаючи з третього рівняння.

З третього рівняння системи знаходимо значення змінної: .

Підставивши знайдене значення на друге рівняння системи, отримуємо , звідки знаходимо значення змінної : .

Підставивши знайдені значення і перше рівняння системи, отримуємо , звідки знаходимо значення змінної : .

Відповідь: .

22. Вирішення лінійної нерівності

23. Вирішення лінійної нерівності

24. Вирішення систем лінійних нерівностей з однією змінною

Система нерівностей– це дві або більше нерівностей, для яких шукають спільні рішення.

Вирішенням системи нерівностейназивається загальне розв'язання всіх нерівностей, що входять до системи.

Теоретично можливих випадків навіть для системи двох нерівностей дуже багато, тому розглянемо основні випадки для системи двох найпростіших нерівностей.

Приклад 1. Вирішити систему нерівностей:

Відповідь: .

Приклад 2. Вирішити систему нерівностей:

Зобразимо розв'язання нерівностей графічно.

Відповідь: .

Приклад 3. Вирішити систему нерівностей:

Зобразимо розв'язання нерівностей графічно.

Відповідь: .

Приклад 4.Вирішити систему нерівностей:

Зобразимо розв'язання нерівностей графічно.

Відповідь:система немає рішень.

25. Розв'язання неповних квадратних рівнянь , ,

Квадратним рівняннямназивається рівняння виду , Причому.

Квадратне рівняння називається неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів або дорівнює нулю.

Кожне з неповних рівнянь можна вирішити за загальною формулою. Але зручніше використати приватні методи.

Випадок 1.

Ліву частину можна розкласти на множники: . Відомо, що добуток дорівнює нулю і тоді, коли хоча б один з множників дорівнює нулю. Отримуємо: або , звідки з умови випливає, що .

Висновок:рівняння завжди має два дійсні корені, .

приклад 1.Розв'язати рівняння .

Рішення: або , .

Випадок 2Якщо, то рівняння набуває вигляду.

Тоді. Оскільки, то.

Якщо , це рівняння не має дійсних коренів (оскільки ).

Якщо, то рівняння має два дійсні корені.

приклад 2.Розв'язати рівняння .

Рішення: . Оскільки , , то це рівняння немає дійсних коренів.

Приклад 3.Розв'язати рівняння .

Рішення: .

Випадок 3.Якщо і, то рівняння набуває вигляду.

Оскільки , то , або , тому рівняння має два рівнікоріння.

Приклад 4.Розв'язати рівняння .

Рішення: .

26. Розв'язання наведеного квадратного рівняння

Наведеним квадратним рівнянням називається квадратне рівняння , Старший коефіцієнт якого .

Щоб знайти його коріння, виділимо повний квадрат зі змінною x. Отримаємо:

.

Число називається дискримінантом наведеного квадратного рівняння. Від знака дискримінанта залежить кількість дійсних коренів рівняння.

Якщо , то рівняння немає дійсних коренів, оскільки .

Якщо то , , тобто дане рівняння має два дійсні корені і .

Зауваження.Формулу особливо зручно використовувати, якщо коефіцієнт p є парним числом.

приклад.Розв'язати рівняння .

Рішення.Тому що , то , , тому .

Тоді , .

Відповідь: , .

27. Формули Вієта для наведеного квадратного рівняння

за умови має два дійсних корені та .

Тоді ,

Таким чином доведено теорему, яка називається теоремою Вієта.

Теорема. Якщо і – коріння наведеного квадратного рівняння , то справедливі рівність , .

Ці рівності називаються формулами Вієта.

Зауваження.Формули Вієта справедливі і в тому випадку, якщо і рівняння має комплексне пов'язане коріння.

приклад.У попередньому параграфі показано, що рівняння має коріння,. Тоді,.

Оскільки , , то , .

28. Розв'язання квадратного рівняння

Оскільки, за визначенням квадратного рівняння, можна розділити на a обидві частини рівняння. Отримаємо наведене квадратне рівняння , в котрому , . Тоді його коріння можна знайти за формулою . Отримаємо:

Число називається дискримінантом квадратного рівняння (І дискримінантом квадратного тричлена). Дискримінант показує, скільки дійсних коренів має це рівняння.

Якщо , то рівняння має два нерівні дійснікоріння і ().

Якщо , то рівняння має два рівні дійснікоріння.

Якщо , то рівняння не маєдійсних коренів.

Зауваження.У цьому випадку рівняння має два комплексні сполучені корені

і .

приклад 1.Розв'язати рівняння .

Рішення.Оскільки , (тоді ), ​​, то

Оскільки , то .

Тоді , .

Відповідь: , .

приклад 2.Розв'язати рівняння .

Рішення.Оскільки , , , то .

Оскільки , то це рівняння немає дійсних коренів.

29. Розв'язання квадратних нерівностей

, , ,

з позитивним дискримінантом

зведенням до системи двох лінійних нерівностей

Дискримінант квадратного тричлена – це число.

Корінням квадратного тричлена називаються коріння рівняння. .

і , причому (означає ).

Тоді його можна розкласти на лінійні множники: .

Оскільки , можна розділити на a обидві частини кожного з аналізованих нерівностей (якщо , знак нерівності (тобто знак > або<) сохранится, если , то знак неравенства поменяется на противоположный). В результате получится неравенство одного из видов: , , , . Розглянемо розв'язання цих нерівностей.

1) Добуток двох множників позитивний, якщо обидва множники позитивні або обидва множники негативні, тому якщо або .

Рішення обох систем є рішеннями цієї квадратної нерівності.

Так як , то (тоді).

Оскільки , то (тоді).

Відповідь:нерівність

має безліч рішень, які можна записати у вигляді або у вигляді .

3) Добуток двох множників негативний, якщо один із множників позитивний, а інший негативний. Тому якщо або .

Бо , то .

Ця система нерівностей не має розв'язків, тому що число x не може бути одночасно менше від двох чисел і , і більше від них.

Відповідь:нерівність

2) Аналогічно отримуємо, що нерівність має безліч рішень, які можна записати у вигляді або у вигляді .

приклад.Вирішити нерівність .

Рішення. Знайдемо коріння квадратного тричлена, тобто коріння рівняння : ,

, .

Розклавши ліву частину даної нерівності за формулою, отримуємо нерівність .

Оскільки , то, розділивши обидві частини останньої нерівності на 3, отримуємо рівносильну йому нерівність .

Твір двох множників негативний, якщо один із множників позитивний, а інший негативний. Тому рішеннями останньої нерівності є розв'язання кожної із систем нерівностей якщо або . Тоді чи

Графічне розв'язання систем представлено на малюнках (для першої системи малюнок ліворуч, другою справа). Видно, що друга система рішень немає, тому рішеннями даної нерівності є рішення першої системи.

Відповідь:

30. Розв'язання квадратних нерівностей

, , ,

з використанням графіка квадратичної функції

Зауваження.Можна вважати, що у всіх цих нерівностях . Інакше, помноживши обидві частини нерівності на і змінивши знак нерівності на протилежний, ми отримаємо нерівність однієї з зазначених чотирьох видів, рівносильне даному.

Тоді графіком функції буде парабола, гілка якої спрямована нагору. Розташування цієї параболи щодо осі абсцис залежить від знака дискримінанта квадратного тричлена. Можливі 3 випадки.

Рис. 1 Мал. 2 Мал. 3

Випадок 1.Якщо , то квадратний тричлен має два дійсні корені. і , причому . Тоді парабола перетинає вісь абсцис у точках з абсцисами та . Для суворих нерівностей і числа та зображуються незафарбованими кружальцями (як на рис.1). Для нестрогих нерівностей і числа та зображуються зафарбованими кружальцями. В цьому випадку: і не має дійсних коренів. Тоді парабола не має спільних точок із віссю абсцис (див. рис. 3). В цьому випадку: x розбивають вісь абсцис на 3 інтервали (див. рис. 1). і

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальне рівняння другого порядку має вигляд.

Визначення.Загальним рішенням рівняння другого порядку називається така функція, яка за будь-яких значеннях і є рішенням цього рівняння.

Визначення.Лінійним однорідним рівнянням другого порядку називається рівняння. Якщо коефіцієнти постійні, тобто. Не залежать від , це рівняння називають рівнянням з постійними коефіцієнтами і записують його так: .

Рівняння називатимемо лінійним неоднорідним рівнянням.

Визначення.Рівняння, що виходить з лінійного однорідного рівняння заміною функції одиницею, а і - відповідними ступенями, називається характеристичним рівнянням.

Відомо, що квадратне рівняння має рішення, що залежить від дискримінанта: , тобто. якщо , то коріння і дійсні різні числа. Якщо то . Якщо ж, тобто. , буде уявним числом, а коріння і - комплексними числами. І тут умовимося позначати .

Приклад 4.Розв'язати рівняння .

Рішення.Дискримінант цього квадратного рівняння, тому.

Покажемо, як у вигляді коренів характеристичного рівняння знайти загальне рішення однорідного лінійного рівняння другого порядку.

Якщо - дійсне коріння характеристичного рівняння, то .

Якщо коріння характеристичного рівняння однакові, тобто. , то загальне рішення диференціального рівняння шукають за такою формулою або .

Якщо ж характеристичне рівняння має комплексне коріння, то.

Приклад 5.Знайти загальне рішення рівняння.

Рішення.Складемо характеристичне рівняння даного диференціального рівняння: . Його коріння, дійсне і різне. Тому загальне рішення.

Фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Теорема про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння . У цьому розділі ми доведемо, що базисом лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння може бути будь-який набір n його лінійно-незалежних рішень.
Опр. 14.5.5.1. фундаментальної системи рішень. Фундаментальною системою рішеньлінійного однорідного диференціального рівняння n -го порядку називається будь-яка лінійно незалежна система y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) його n приватних рішень.
Теорема 14.5.5.1.1 про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння. Спільне рішення y (x ) лінійного однорідного диференціального рівняння є лінійна комбінація функцій із фундаментальної системи розв'язків цього рівняння:
y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).
Док-во. Нехай y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Потрібно довести, що будь-яке приватне рішення y чо ( x ) цього рівняння міститься у формулі y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) при деякому наборі постійних C 1 , C 2 , …, C n . Візьмемо будь-яку точку, обчислимо в цій точці числа і знайдемо постійні C 1 , C 2 , …, C n як розв'язок лінійної неоднорідної системи алгебраїчних рівнянь
Таке рішення існує і єдино, оскільки визначник цієї системи дорівнює . Розглянемо лінійну комбінацію y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) функцій з фундаментальної системи рішень із цими значеннями постійних C 1 , C 2 , …, C n і порівняємо її з функцією y чо ( x ). Функції y (x ) та y чо ( x ) задовольняють одному рівнянню та однаковим початковим умовам у точці x 0 , отже, за єдиністю розв'язання задачі Коші, вони збігаються: y чо ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Теорему доведено.
З цієї теореми випливає, що розмірність лінійного простору приватних рішень однорідного рівняння з безперервними коефіцієнтами не перевищує n . Залишилося довести, що ця розмірність не менша n .
Теорема 14.5.5.1.2 про існування фундаментальної системи розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Будь-яке лінійне однорідне диференціальне рівняння n -го порядку з безперервними коефіцієнтами має фундаментальну систему рішень, тобто. систему з n лінійно-незалежних рішень.
Док-во. Візьмемо будь-який числовий визначник n -го порядку, не рівний нулю