Розв'язати рівняння синус ікс дорівнює 1 2. Тригонометричні рівняння. Введення допоміжного кута

Основними методами розв'язання тригонометричних рівнянь є: зведення рівнянь до найпростіших (з використанням тригонометричних формул), запровадження нових змінних, розкладання на множники. Розглянемо їх застосування на прикладах. Зверніть увагу на оформлення запису розв'язків тригонометричних рівнянь.

Необхідною умовою успішного розв'язання тригонометричних рівнянь є знання тригонометричних формул (тема 13 роботи 6).

приклади.

1. Рівняння, що зводяться до найпростіших.

1) Розв'язати рівняння

Рішення:

Відповідь:

2) Знайти коріння рівняння

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, що належать відрізку .

Рішення:

Відповідь:

2. Рівняння, що зводяться до квадратних.

1) Розв'язати рівняння 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Рішення:Використовуючи формулу sin 2 x = 1 – cos 2 x, отримуємо

Відповідь:

2) Розв'язати рівняння cos 2x = 1+4 cosx.

Рішення:Використовуючи формулу cos 2x = 2 cos 2 x – 1, отримуємо

Відповідь:

3) Розв'язати рівняння tgx - 2ctgx + 1 = 0

Рішення:

Відповідь:

3. Однорідні рівняння

1) Розв'язати рівняння 2sinx – 3cosx = 0

Рішення: Нехай cosx = 0, тоді 2sinx = 0 і sinx = 0 – суперечність із тим, що sin 2 x + cos 2 x = 1. Значить cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння на cosx. Отримаємо

Відповідь:

2) Розв'язати рівняння 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Рішення:

Використовуємо формули 1 = sin 2 x + cos 2 x та sin 2x = 2 sinxcosx, отримаємо

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нехай cosx = 0, тоді sin 2 x = 0 і sinx = 0 – суперечність із тим, що sin 2 x + cos 2 x = 1.
Значить cosx ≠ 0 і можна поділити рівняння cos 2 x . Отримаємо

tg 2 x - 6 tgx + 8 = 0
Позначимо tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y 2 = 2
а) tgx = 4, x = arctg4 + 2 k, k
б) tgx = 2, x = arctg2 + 2 k, k .

Відповідь: arctg4 + 2 k, arctg2 + 2 k, k

4. Рівняння виду a sinx + b cosx = с, с≠ 0.

1) Розв'язати рівняння.

Рішення:

Відповідь:

5. Рівняння, які вирішуються розкладанням на множники.

1) Розв'язати рівняння sin2x – sinx = 0.

Коренем рівняння f (х) = φ ( х) може бути тільки число 0. Перевіримо це:

cos 0 = 0 + 1 - рівність правильна.

Число 0 єдиний корінь цього рівняння.

Відповідь: 0.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Найпростіші тригонометричні рівняння вирішуються, як правило, за формулами. Нагадаю, що найпростішими називаються такі тригонометричні рівняння:

sinx = а

cosx = а

tgx = а

ctgx = а

х - кут, який потрібно знайти,
а – будь-яке число.

А ось і формули, за допомогою яких можна одразу записати розв'язки цих найпростіших рівнянь.

Для синусу:

Для косинуса:

х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Для тангенсу:

х = arctg a + π n, n ∈ Z

Для котангенсу:

х = arcctg a + π n, n ∈ Z

Власне, це і є теоретична частина розв'язання найпростіших тригонометричних рівнянь. До того ж, вся!) Зовсім нічого. Проте, кількість помилок на цю тему просто зашкалює. Особливо при незначному відхиленні прикладу від шаблону. Чому?

Та тому, що маса народу записує ці літери, не розуміючи їхнього сенсу абсолютно!З побоюванням записує, як би чого не вийшло... З цим треба розібратися. Тригонометрія для людей, або люди для тригонометрії, зрештою!?)

Розберемося?

Один кут у нас буде рівний arccos a, другий: -arccos a.

І так виходитиме завжди.За будь-якого а.

Якщо не вірите, наведіть курсор мишки на картинку, або торкніться малюнку на планшеті. Я змінив число а на якесь негативне. Все одно, один кут у нас вийшов arccos a, другий: -arccos a.

Отже, відповідь можна завжди записати у вигляді двох серій коріння:

х 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Об'єднуємо ці дві серії в одну:

х= ± arccos а + 2π n, n ∈ Z

І всі справи. Отримали загальну формулу для вирішення найпростішого тригонометричного рівняння з косинусом.

Якщо ви розумієте, що це не якась наднаукова мудрість, а просто скорочений запис двох серій відповідей,вам і завдання "С" будуть по плечу. З нерівностями, з відбором коріння із заданого інтервалу... Там відповідь з плюсом/мінусом не котить. А якщо поставитися до відповіді ділово, та розбити його на дві окремі відповіді, все і вирішується.) Власне, для цього й розуміємося. Що, як і звідки?

У найпростішому тригонометричному рівнянні

sinx = а

теж виходить дві серії коріння. Завжди. І ці дві серії також можна записати одним рядком. Тільки цей рядок хитрішим буде:

х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Але суть залишається незмінною. Математики просто сконструювали формулу, щоб замість двох записів серій коріння зробити один. І все!

Перевіримо математиків? А то мало...)

У попередньому уроці докладно розібрано рішення (без будь-яких формул) тригонометричного рівняння із синусом:

У відповіді вийшло дві серії коренів:

х 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

х 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Якщо ми вирішуватимемо це ж рівняння за формулою, отримаємо відповідь:

х = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Взагалі, це недороблена відповідь.) Учень повинен знати, що arcsin 0,5 = π /6.Повноцінна відповідь буде:

х = (-1) n π /6+ π n, n ∈ Z

Тут виникає цікаве питання. Відповідь через х 1; х 2 (це правильна відповідь!) і через самотню х (і це правильна відповідь!) - одне й те саме, чи ні? Зараз дізнаємось.)

Підставляємо у відповідь з х 1 значення n =0; 1; 2; і т.д., вважаємо, отримуємо серію коренів:

х 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 і так далі.

При такій же підстановці у відповідь х 2 , отримуємо:

х 2 = 5?/6; 17π/6; 29π/6 і так далі.

А тепер підставляємо значення n (0; 1; 2; 3; 4...) у загальну формулу для самотнього х . Тобто зводимо мінус один у нульовий ступінь, потім у першу, другу, і т.д. Ну і, зрозуміло, у другий доданок підставляємо 0; 1; 2 3; 4 і т.д. І рахуємо. Отримуємо серію:

х = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 і так далі.

Ось все і видно.) Загальна формула видає нам такі ж результати,що й дві відповіді окремо. Тільки все одразу, по порядку. Не обдурили математики.)

Формули для вирішення тригонометричних рівнянь із тангенсом та котангенсом теж можна перевірити. Але не будемо.) Вони й так простенькі.

Я розписав всю цю підстановку та перевірку спеціально. Тут важливо зрозуміти одну просту річ: формули для вирішення елементарних тригонометричних рівнянь є, лише короткий запис відповідей.Для цієї стислості довелося вставити плюс/мінус у рішення для косинуса та (-1) n у рішення для синуса.

Ці вставки ніяк не заважають завданням, де потрібно просто записати відповідь елементарного рівняння. Але якщо треба вирішувати нерівність, чи далі треба щось робити з відповіддю: відбирати коріння на інтервалі, перевіряти на ОДЗ тощо, ці вставочки можуть запросто вибити людину з колії.

І що робити? Так або розписати відповідь через дві серії, або вирішувати рівняння/нерівність по тригонометричному колу. Тоді зникають ці вставочки і життя стає легшим.

Можна підбити підсумки.

Для вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь є готові формули відповідей. Чотири штуки. Вони хороші для миттєвого запису рішення рівняння. Наприклад, треба розв'язати рівняння:

sinx = 0,3

Легко: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Без проблем: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Просто: х = arctg 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Однією лівою: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Якщо ви, блищачи знаннями, миттєво пишете відповідь:

х= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

то блищате ви вже, це... того... з калюжі.) Правильна відповідь: рішень немає. Не знаєте, чому? Прочитайте, що таке арккосинус. Крім того, якщо у правій частині вихідного рівняння стоять табличні значення синуса, косинуса, тангенсу, котангенсу, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 і т.п. - відповідь через арки буде недоробленою. Арки потрібно обов'язково перевести на радіани.

А якщо вам трапилася нерівність, типу

то відповідь у вигляді:

х πn, n ∈ Z

є рідкісна ахінея, так ...) Тут треба по тригонометричному колі вирішувати. Чим ми займемося у відповідній темі.

Для тих, хто героїчно дочитав до цих рядків. Я просто не можу не оцінити ваших титанічних зусиль. Вам бонус.)

Бонус:

При записі формул у тривожній бойовій обстановці, навіть загартовані навчанням ботаны часто плутаються, де πn, а де 2π n. Ось вам простий приймач. Во всіхформулах стоїть πn. Крім єдиної формули з арккосинусом. Там стоїть 2πn. Двапіен. Ключове слово - два.У цій самій єдиній формулі стоять двазнак на початку. Плюс і мінус. І там і там - два.

Так що якщо ви написали двазнака перед арккосинусом, легше згадати, що в кінці буде двапіен. А ще навпаки. Пропустить людина знак ± , добереться до кінця, напише правильно двапіен, та й схаменеться. Попереду двазнаку! Повернеться людина до початку, та помилку і виправить! Ось так.)

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Колись я став свідком розмови двох абітурієнтів:

– Коли треба додати 2πn, а коли – πn? Ніяк не можу запам'ятати!

– І в мене така сама проблема.

Так і хотілося їм сказати: "Не запам'ятовувати треба, а розуміти!"

Ця стаття адресована насамперед старшокласникам і, сподіваюся, допоможе їм із «розумінням» вирішувати найпростіші тригонометричні рівняння:

Числове коло

Поряд із поняттям числової прямої є ще й поняття числового кола. Як ми знаємо, у прямокутній системі координат коло, з центром у точці (0; 0) і радіусом 1, називається одиничною.Уявимо числову пряму тонкою ниткою і намотаємо її на це коло: початок відліку (точку 0), приставимо до «правої» точки одиничного кола, позитивну піввісь обмотаємо проти руху годинникової стрілки, а негативну – у напрямку (рис. 1). Таке одиничне коло називають числовим.

Властивості числового кола

• Кожне дійсне число знаходиться на одній точці числового кола.
• На кожній точці числового кола знаходяться безліч дійсних чисел. Оскільки довжина одиничного кола дорівнює 2π, то різниця між будь-якими двома числами на одній точці кола дорівнює одному з чисел ±2π ; ±4π; ±6π; …

Зробимо висновок: знаючи одне із чисел точки A, ми можемо знайти всі числа точки A.

Проведемо діаметр АС (рис. 2). Оскільки x_0 – одне із чисел точки А, то числа x_0±π; x_0±3π; x_0±5π; … і лише вони будуть числами точки C. Виберемо одне з цих чисел, скажімо, x_0+π, і запишемо з його допомогою всі числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Зазначимо, що числа на точках A та C можна об'єднати в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … отримаємо числа точки A, а при k = ±1, ±3; ±5;... – числа точки C).

Зробимо висновок: знаючи одне з чисел на одній із точок A або C діаметра АС, ми можемо знайти всі числа на цих точках.

• Два протилежні числа знаходяться на симетричних відносно осі абсцис точках кола.

Проведемо вертикальну хорду АВ (рис. 2). Оскільки точки A та B симетричні щодо осі Ox, то число -x_0 знаходиться на точці B і, отже, усі числа точки B задаються формулою: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A та B запишемо однією формулою: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Зробимо висновок: знаючи одне із чисел на одній із точок A або B вертикальної хорди АВ, ми можемо знайти всі числа на цих точках. Розглянемо горизонтальну хорду AD та знайдемо числа точки D (рис. 2). Оскільки BD – діаметр і число -x_0 належить точці, то -x_0 + π одне з чисел точки D і, отже, всі числа цієї точки задаються формулою x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числа на точках A і D можна записати за допомогою однієї формули: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … отримаємо числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

Зробимо висновок: знаючи одне з чисел на одній із точок A або D горизонтальної хорди AD, ми можемо знайти всі числа на цих точках.

Шістнадцять основних точок числового кола

Насправді розв'язання більшості найпростіших тригонометричних рівнянь пов'язані з шістнадцятьма точками кола (рис. 3). Що це за цятки? Червоні, сині та зелені точки ділять коло на 12 рівних частин. Оскільки довжина півкола дорівнює π, то довжина дуги A1A2 дорівнює π/2, довжина дуги A1B1 дорівнює π/6, а довжина дуги A1C1 дорівнює π/3.

Тепер можемо вказати по одному числу на точках:

π/3 на С1 та

Вершини помаранчевого квадрата – середини дуг кожної чверті, отже, довжина дуги A1D1 дорівнює π/4 і, отже, π/4 – одне із чисел точки D1. Скориставшись властивостями числового кола, ми можемо записати за допомогою формул усі числа на всіх зазначених точках нашого кола. На малюнку зазначені також координати цих точок (опустимо опис їх отримання).

Засвоївши вище сказане, ми маємо тепер достатню підготовку для вирішення окремих випадків (для дев'яти значень числа a)найпростіших рівнянь.

Розв'язати рівняння

1)sinx=1⁄(2).

– Що від нас вимагається?

– Знайти всі ті числа x, синус яких дорівнює 1/2.

Згадаймо визначення синуса: sinx – ордината точки числового кола, на якому знаходиться число x. На колі маємо дві точки, ордината яких дорівнює 1/2. Це кінці горизонтальної хорди B1B2. Отже, вимога «вирішити рівняння sinx=1⁄2» рівнозначна вимогі «знайти всі числа на точці B1 і всі числа на точці B2».

2)sinx=-√3⁄2 .

Нам треба знайти всі числа на точках C4 та C3.

3) sinx=1. На колі маємо лише одну точку з ординатою 1 – точка A2 і, отже, нам треба знайти лише усі числа цієї точки.

Відповідь: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Лише точка A_4 має ординату -1. Всі числа цієї точки будуть конями рівняння.

Відповідь: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

На колі маємо дві точки з ординатою 0 – точки A1 та A3. Можна вказати числа кожної з точок окремо, але, враховуючи, що це точки діаметрально протилежні, краще об'єднати в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

Відповідь: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Згадаймо визначення косинуса: cosx - абсцис точки числового кола на якій знаходиться число x.На колі маємо дві точки з абсцисою √2⁄2 – кінці горизонтальної хорди D1D4. Нам потрібно знайти всі числа цих точках. Запишемо їх, поєднавши в одну формулу.

Відповідь: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Потрібно знайти числа на точках C_2 і C_3.

Відповідь: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Тільки точки A2 та A4 мають абсцису 0, отже, всі числа на кожній із цих точках і будуть рішеннями рівняння.
.

Рішеннями рівняння системи є числа на точках B_3 і B_4.<0 удовлетворяют только числа b_3
Відповідь: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Зауважимо, що при будь-якому допустимому значенні x другий множник позитивний і, отже, рівняння рівносильне системі

Рішеннями рівняння системи є чила точок D_2 і D_3. Числа точки D_2 не задовольняють нерівності sinx≤0,5 а числа точки D_3-задовольняють.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.