Як визначити коефіцієнт квадратного рівняння. Повні і неповні квадратні рівняння. Рішення різних типів квадратних рівнянь

За допомогою цієї математичної програми ви можете вирішити квадратне рівняння.

Програма не тільки дає відповідь завдання, але і відображає процес вирішення двома способами:
- за допомогою дискримінанту
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).

Причому, відповідь виводиться точний, а не наближений.
Наприклад, для рівняння \\ (81x ^ 2-16x-1 \u003d 0 \\) відповідь виводиться в такій формі:

Дана програма може бути корисна учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольних робіт і іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може бути вам дуже накладно наймати репетитора або купувати нові підручники? Або ви просто хочете якомога швидше зробити домашнє завдання з математики або алгебрі? В цьому випадку ви також можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

У такий спосіб ви можете проводити свою власну навчання та / або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в області вирішуваних завдань підвищується.

Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного многочлена, рекомендуємо з ними ознайомитися.

Правила введення квадратного многочлена

В якості змінної може виступати будь-яка латінс буква.
Наприклад: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) і т.д.

Числа можна вводити цілі або дробові.
Причому, дробові числа можна вводити не тільки у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.

Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах дрібна частина від цілої може відділятися як точкою так і коми.
Наприклад, можна вводити десяткові дроби так: 2.5x - 3,5x ^ 2

Правила введення звичайних дробів.
В як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.

Знаменник не може бути негативним.

При введенні числовий дробу чисельник відділяється від знаменника знаком ділення: /
Ціла частина відділяється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Результат: \\ (3 \\ frac (1) (3) - 5 \\ frac (6) (5) z + \\ frac (1) (7) z ^ 2 \\)

При введенні виразу можна використовувати дужки. В цьому випадку при вирішенні квадратного рівняння введене вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

Виявлено що ні завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас включений AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновити сторінку.

Оскільки бажаючих вирішити задачу дуже багато, ваш запит поставлений в чергу.
Через кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сек ...

Якщо ви помітили помилку в рішенні, То про це ви можете написати в Формі зворотного зв'язку.
не забудьте вказати яке завдання ви вирішуєте і що вводите в поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Квадратне рівняння і його корені. Неповні квадратні рівняння

Кожне з рівнянь
\\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 \u003d 0, \\ quad 8x ^ 2-7x \u003d 0, \\ quad x ^ 2 \\ frac (4) (9) \u003d 0 \\)
має вид
\\ (Ax ^ 2 + bx + c \u003d 0, \\)
де x - змінна, a, b і c - числа.
У першому рівнянні a \u003d -1, b \u003d 6 і c \u003d 1,4, у другому a \u003d 8, b \u003d -7 і c \u003d 0, в третьому a \u003d 1, b \u003d 0 і c \u003d 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.

Визначення.
квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому \\ (a \\ neq 0 \\).

Числа a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b - другим коефіцієнтом і число c - вільним членом.

У кожному з рівнянь виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де \\ (a \\ neq 0 \\), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси і назва: квадратне рівняння.

Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, так як його ліва частина є многочлен другого ступеня.

Квадратне рівняння, в якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеними квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\\ (X ^ 2-11x + 30 \u003d 0, \\ quad x ^ 2-6x \u003d 0, \\ quad x ^ 2-8 \u003d 0 \\)

Якщо в квадратному рівнянні ax 2 + bx + c \u003d 0 хоча б один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x 2 + 7 \u003d 0, 3x 2 -10x \u003d 0, -4x 2 \u003d 0 - неповні квадратні рівняння. У першому з них b \u003d 0, у другому c \u003d 0, в третьому b \u003d 0 і c \u003d 0.

Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 + c \u003d 0, де \\ (c \\ neq 0 \\);
2) ax 2 + bx \u003d 0, де \\ (b \\ neq 0 \\);
3) ax 2 \u003d 0.

Розглянемо рішення рівнянь кожного з цих видів.

Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + c \u003d 0 при \\ (c \\ neq 0 \\) переносять його вільний член в праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\\ (X ^ 2 \u003d - \\ frac (c) (a) \\ Rightarrow x_ (1,2) \u003d \\ pm \\ sqrt (- \\ frac (c) (a)) \\)

Так як \\ (c \\ neq 0 \\), то \\ (- \\ frac (c) (a) \\ neq 0 \\)

Якщо \\ (- \\ frac (c) (a)\u003e 0 \\), то рівняння має два кореня.

Якщо \\ (- \\ frac (c) (a) Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 + bx \u003d 0 при \\ (b \\ neq 0 \\) розкладають його ліву частину на множники і отримують рівняння
\\ (X (ax + b) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ ax + b \u003d 0 \\ end (array) \\ right. \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ begin (array) (l) x \u003d 0 \\\\ x \u003d - \\ frac (b) (a) \\ end (array) \\ right. \\)

Значить, неповне квадратне рівняння виду ax 2 + bx \u003d 0 при \\ (b \\ neq 0 \\) завжди має два кореня.

Неповне квадратне рівняння виду ax 2 \u003d 0 рівносильне рівнянню x 2 \u003d 0 і тому має єдиний корінь 0.

Формула коренів квадратного рівняння

Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнта при невідомих і вільний член відмінні від нуля.

Вирішимо квадратне рівняння в загалом вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати при вирішенні будь-якого квадратного рівняння.

Вирішимо квадратне рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0

Розділивши обидві його частини на a, одержимо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\\ (X ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\)

Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\\ (X ^ 2 + 2x \\ cdot \\ frac (b) (2a) + \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 \\ left (\\ frac (b) (2a) \\ right) ^ 2 + \\ frac (c) (a) \u003d 0 \\ Rightarrow \\)

Подкоренное вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0 ( «дискриминант» по латині - различитель). Його позначають буквою D, тобто
\\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Тепер, використовуючи позначення дискримінанту, перепишемо формулу для коренів квадратного рівняння:
\\ (X_ (1,2) \u003d \\ frac (-b \\ pm \\ sqrt (D)) (2a) \\), де \\ (D \u003d b ^ 2-4ac \\)

Очевидно, що:
1) Якщо D\u003e 0, то квадратне рівняння має два кореня.
2) Якщо D \u003d 0, то квадратне рівняння має один корінь \\ (x \u003d - \\ frac (b) (2a) \\).
3) Якщо D Таким чином, в залежності від значення дискриминанта квадратне рівняння може мати два кореня (при D\u003e 0), один корінь (при D \u003d 0) або не мати коренів (при D При вирішенні квадратного рівняння по даній формулі доцільно поступати таким чином:
1) обчислити дискримінант і порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант від'ємний, то записати, що коріння немає.

теорема Вієта

Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x + 10 \u003d 0 має корені 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену. Таку властивість має будь наведене квадратне рівняння, має коріння.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену.

Тобто теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 + px + q \u003d 0 мають властивість:
\\ (\\ Left \\ (\\ begin (array) (l) x_1 + x_2 \u003d -p \\\\ x_1 \\ cdot x_2 \u003d q \\ end (array) \\ right. \\)

Рішення рівнянь в математиці займає особливе місце. Цьому процесу передує безліч годин вивчення теорії, в ході яких учень дізнається способи розв'язання рівнянь, визначення їх виду і доводить навик до повного автоматизму. Однак далеко не завжди пошук коренів має сенс, тому що їх може просто не бути. Існують особливі прийоми знаходження коренів. У даній статті ми розберемо основні функції, їх області визначення, а також випадки, коли їх коріння відсутні.

Яке рівняння не має коренів?

Рівняння не має коренів в тому випадку, якщо не існує таких дійсних аргументів х, при яких рівняння тотожне вірно. Для неспеціаліста це формулювання, як і більшість математичних теорем і формул, виглядає дуже розмитою і абстрактної, однак це в теорії. На практиці все стає гранично просто. Наприклад: рівняння 0 * х \u003d -53 не має рішення, тому що не знайдеться такого числа х, твір якого з нулем дало б щось, крім нуля.

Зараз ми розглянемо базові типи рівнянь.

1. Лінійне рівняння

Рівняння називається лінійним, якщо його права і ліва частини представлені у вигляді лінійних функцій: ax + b \u003d cx + d або в узагальненому вигляді kx + b \u003d 0. Де а, b, с, d - відомі числа, а х - невідома величина . Яке рівняння не має коренів? Приклади лінійних рівнянь представлені на ілюстрації нижче.

В основному лінійні рівняння вирішуються простим перенесенням числовий частини в одну частину, а вмісту з х - в іншу. Виходить рівняння виду mx \u003d n, де m і n - числа, а х - невідоме. Щоб знайти х, досить розділити обидві частини на m. Тоді х \u003d n / m. В основному лінійні рівняння мають тільки один корінь, проте бувають випадки, коли коріння або нескінченно багато, або немає зовсім. При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння набирає вигляду 0 * х \u003d 0. Рішенням такого рівняння буде абсолютно будь-яке число.

Однак яке рівняння не має коренів?

При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння не має коренів з безлічі дійсних чисел. 0 * х \u003d -1; 0 * х \u003d 200 - ці рівняння не мають коренів.

2. Квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0 при а \u003d 0. Найпоширенішим є рішення через дискримінант. Формула знаходження дискримінанту квадратного рівняння: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Далі знаходиться два кореня х 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

При D\u003e 0 рівняння має два кореня, при D \u003d 0 - корінь один. Але яке квадратне рівняння не має коренів? Поспостерігати кількість коренів квадратного рівняння найпростіше за графіком функції, що представляє собою параболу. При а\u003e 0 гілки спрямовані вгору, при а< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Також можна визначити візуально кількість коренів, що не обчислюючи дискриминант. Для цього потрібно знайти вершину параболи і визначити в який бік спрямовані гілки. Визначити координату x вершини можна за формулою: х 0 \u003d -b / 2a. В цьому випадку координата y вершини знаходиться простий підстановкою значення х 0 в початкове рівняння.

Квадратне рівняння x 2 - 8x + 72 \u003d 0 не має коренів, так як має негативний дискриминант D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Це означає, що парабола не стосується осі абсцис і функція ніколи не приймає значення 0, отже, рівняння не має дійсних коренів.

3. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні функції розглядаються на тригонометричної окружності, проте можуть бути представлені і в декартовій системі координат. У даній статті ми розглянемо дві основні тригонометричні функції і їх рівняння: sinx і cosx. Так як дані функції утворюють тригонометричну окружність з радіусом 1, | sinx | і | cosx | не можуть бути більше 1. Отже, яке рівняння sinx не має коренів? Розглянемо графік функції sinx, представлений на зображенні нижче.

Ми бачимо, що функція є симетричною і має період повторення 2pi. Виходячи їх цього, можна говорити, що максимальним значенням цієї функції може бути 1, а мінімальним -1. Наприклад, вираз cosx \u003d 5 не матиме коріння, так як по модулю воно більше одиниці.

Це найпростіший приклад тригонометричних рівнянь. Насправді їх рішення може займати безліч сторінок, в кінці яких ви усвідомлюєте, що використовували неправильну формулу і все потрібно починати спочатку. Часом навіть при правильному знаходженні коренів ви можете забути врахувати обмеження по ОПЗ, через що у відповіді з'являється зайвий корінь або інтервал, і вся відповідь звертається в помилковий. Тому строго стежте за всіма обмеженнями, адже не всі корені вписуються в рамки завдання.

4. Системи рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність рівнянь, об'єднаних фігурною або квадратної дужками. Фігурні дужки позначають спільне виконання всіх рівнянь. Тобто якщо хоча б одне з рівнянь не має коренів або суперечить іншому, вся система не має рішення. Квадратні дужки позначають слово "або". Це означає, що якщо хоча б одне з рівнянь системи має рішення, то вся система має рішення.

Відповіддю системи з є сукупність всіх коренів окремих рівнянь. А системи з фігурним дужками мають тільки спільне коріння. Системи рівнянь можуть включати абсолютно різноманітні функції, тому така складність не дозволяє сказати відразу, яке рівняння не має коренів.

У задачниках і підручниках зустрічаються різні типи рівнянь: такі, які маю коріння, і не мають їх. В першу чергу, якщо у вас не виходить знайти коріння, не думайте, що їх немає зовсім. Можливо, ви зробили десь помилку, тоді досить лише уважно перевірити ваше рішення.

Ми розглянули базові рівняння та їх види. Тепер ви можете сказати, яке рівняння не має коренів. У більшості випадків зробити це зовсім не важко. Для досягнення успіху у вирішенні рівнянь потрібно лише увагу і зосередженість. Практикуйтеся більше, це допоможе вам орієнтуватися в матеріалі набагато краще і швидше.

Отже, рівняння не має коренів, якщо:

• в лінійному рівнянні mx \u003d n значення m \u003d 0 і n \u003d 0;
• в квадратному рівнянні, якщо дискримінант менше нуля;
• в тригонометричному рівнянні виду cosx \u003d m / sinx \u003d n, якщо | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
• в системі рівнянь з фігурними дужками, якщо хоча б одне рівняння не має коренів, і з квадратними дужками, якщо всі рівняння не мають коренів.

Копьевская сільська середня загальноосвітня школа

10 способів вирішення квадратних рівнянь

Керівник: Патрікеева Галина Анатоліївна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння

1.3 Квадратні рівняння в Індії

1.4 Квадратні рівняння у ал Хорезми

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

1.6 Про теорему Вієта

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

висновок

література

1. Історія розвитку квадратних рівнянь

1.1 Квадратні рівняння в Стародавньому Вавілоні

Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до н. е. вавилоняни.

Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавилонських текстах, збігається по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутні поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратних рівнянь.

1.2 Як становив і вирішував Діофант квадратні рівняння.

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, однак у ній міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

Ось, наприклад, одна з його завдань.

Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір - 96»

Діофант міркує таким чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, так як якщо б вони були рівні, то їх твір дорівнювало б не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х , Інше ж менше, тобто 10 - х . Різниця між ними 2х .

Звідси рівняння:

(10 + х) (10 - х) \u003d 96

100 - х 2 \u003d 96

х 2 - 4 \u003d 0 (1)

Звідси х \u003d 2 . Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х \u003d -2 для Діофанта не існує, так як грецька математика знала лише позитивні числа.

Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи в якості невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішення рівняння

у (20 - у) \u003d 96,

у 2 - 20у + 96 \u003d 0. (2)

Ясно, що, вибираючи в якості невідомого полуразность шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння (1).

1.3 Квадратні рівняння в Індії

Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.), Виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної формі:

ах 2 + b х \u003d с, а\u003e 0. (1)

У рівнянні (1) коефіцента, крім а , Можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.

У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого на ринках, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні завдання ». Завдання часто вдягалися в віршовану форму.

Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскару.

Завдання 13.

«Мавпочок жвавих зграя А дванадцять по ліанах ...

Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи ...

Їх в квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,

На галявині бавилася. Ти скажи мені, в цій зграї? »

Рішення Бхаскару свідчить про те, що він знав про двозначності коренів квадратних рівнянь (рис. 3).

Відповідне завдання 13 рівняння:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаськара пише під виглядом:

х 2 - 64х \u003d -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає к обох частин 32 2 , Отримуючи потім:

х 2 - 64х + 32 2 \u003d -768 + 1024,

(Х - 32) 2 \u003d 256,

х - 32 \u003d ± 16,

х 1 \u003d 16, х 2 \u003d 48.

1.4 Квадратні рівняння у ал - Хорезмі

В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

1) «Квадрати рівні корінням», тобто ах 2 + с \u003d b х.

2) «Квадрати рівні числу», тобто ах 2 \u003d с.

3) «Коріння рівні числу», тобто ах \u003d с.

4) «Квадрати і числа рівні коріння», тобто ах 2 + с \u003d b х.

5) «Квадрати і коріння рівні числу», тобто ах 2 + bx \u003d С.

6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bx + З \u003d ах 2.

Для ал - Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не збігається повністю з нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду

ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII в., е враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь » (Мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 \u003d 10х).

Рішення автора говорить приблизно так: роздягли навпіл число коренів, отримаєш 5, примножиш 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

Трактат ал - Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.

1.5 Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

Формули рішення квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної 1202 р італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Цей об'ємний працю, в якому відображено вплив математики, як країн ісламу, так і Стародавній Греції, Відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато задач з «Книги абака» переходили майже в усі європейські підручники XVI - XVII ст. і частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного канонічного вигляду:

х 2 + bx \u003d С,

при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , з було сформульовано в Європі лише в 1544 р М. Штіфель.

Висновок формули вирішення квадратного рівняння в загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав тільки позитивні коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI в. Враховують, крім позитивних, і негативні коріння. Лише в XVII ст. Завдяки праці Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб вирішення квадратних рівнянь приймає сучасний вигляд.

1.6 Про теорему Вієта

Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і його корінням, що носить ім'я Вієта, була їм сформульована вперше 1591 р наступним чином: «Якщо B + D , Помножене на A - A 2 , так само BD , то A одно В і так само D ».

Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А , Як і будь-яка голосна буква, означало у нього невідоме (наше х), Голосні ж В, D - коефіцієнти при невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта означає: якщо має місце

(А + b ) Х - х 2 \u003d ab ,

х 2 - (а + b ) Х + а b = 0,

х 1 \u003d а, х 2 \u003d b .

Висловлюючи залежність між країнами і коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, записаними за допомогою символів, Виет встановив однаковість в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивні.

2. Способи вирішення квадратних рівнянь

Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вузу.

Просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі

треба задане рівняння привести до стандартному виду, Тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Найголовніше - правильно

визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння.

Вираз під знаком кореня називається дискриминант . Як бачимо, для знаходження ікси, ми

використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо

значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками!

наприклад, В рівнянні:

а =1; b = 3; c = -4.

Підставляємо значення і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, bі з. Вірніше, з підстановкою

негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули

з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Розписуємо всі докладно, уважно, нічого не пропускаючи з усіма знаками і дужками:

Часто квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок.

прийом перший. Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду.

Що це означає?

Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с.

Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

Позбавтеся від мінуса. Як? Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад.

Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! за теоремі Вієта.

Для вирішення наведених квадратних рівнянь, тобто якщо коефіцієнт

x 2 + bx + c \u003d 0,

тоді x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Для повного квадратного рівняння, в якому a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

ділимо всі рівняння на а:

→ →

де x 1 і x 2 - корені рівняння.

прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! домножьте

рівняння на спільний знаменник.

Висновок. практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього

рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний

множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівняння ключовим словом є "Квадратне". Воно означає, що в рівнянні обов'язково повинен бути присутнім ікс в квадраті. Крім нього, в рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) Просто ікс (в першого ступеня) і просто число (Вільний член). І не повинно бути іксів в ступеня, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння - це рівняння виду:

тут a, b і з - якісь числа. b і c - зовсім будь-які, а а- будь-який, крім нуля. наприклад:

тут а =1; b = 3; c = -4

тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутня повний набір членів. Ікс в квадраті з коефіцієнтом а,ікс в першого ступеня з коефіцієнтом b і вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b \u003d 0, що у нас вийде? У нас пропаде ікс в першого ступеня. Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 \u003d 0,

2х 2 -6х \u003d 0,

х 2 + 4х \u003d 0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнта, b і c дорівнюють нулю, то все ще простіше:

2х 2 \u003d 0,

-0,3х 2 \u003d 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями. Що цілком логічно.) Прошу зауважити, що ікс в квадраті присутній у всіх рівняннях.

До речі, чому а не може дорівнювати нулю? А ви підставте замість а нулик.) У нас зникне ікс в квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше ...

Ось і всі головні види квадратних рівнянь. Повні і неповні.

Рішення квадратних рівнянь.

Рішення повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно.) Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискриминант. Але про нього - нижче. Як бачимо, для знаходження ікси, ми використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, в рівнянні:

а =1; b = 3; c \u003d -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитися не можна? Ну да, як же ...

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, b і з. Вірніше, не з їх знаками (де там плутатися?), А з підстановкою негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий прімерчік вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Припустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву рядок займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма скобочки і знаками:

Це здається неймовірно важким, так ретельно розписувати. Але це тільки здається. Спробуйте. Ну, або вибирайте. Що краще, швидко, або правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час відпаде потреба так ретельно все розписувати. Саме буде правильно виходити. Особливо, якщо будете застосовувати практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться запросто і без помилок!

Але, частенько, квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь.

Їх теж можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно зрозуміти, чому тут рівняються a, b і з.

Зрозуміли? У першому прикладі a \u003d 1; b \u003d -4; а c? Його взагалі немає! Ну да, правильно. У математиці це означає, що c \u003d 0 ! От і все. Підставляємо в формулу нуль замість c, і все у нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без усяких формул. Розглянемо перший неповне рівняння. Що там можна зробити в лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А то, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли який-небудь з множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульових числа, які при перемножуванні нуль дадуть!
Не виходить? Ото ж бо ...
Отже, можна впевнено записати: х 1 \u003d 0, х 2 \u003d 4.

Усе. Це і будуть коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці будь-якого з них у вихідне рівняння, ми отримаємо вірне тотожність 0 \u003d 0. Як бачите, рішення куди простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а який другим - абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядочку, х 1 - то, що менше, а х 2 - то, що більше.

Друге рівняння теж можна вирішити просто. Переносимо 9 в праву частину. отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. вийде:

Теж два кореня . х 1 \u003d -3, х 2 \u003d 3.

Так вирішуються всі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікси за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим витяганням кореня.
Сплутати ці прийоми вкрай складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь з ікси витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого ...

Дискримінант. Формула дискримінанту.

чарівне слово дискриминант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість і обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанту не доводиться! Він простий і безвідмовний в зверненні.) Нагадую саму загальну формулу для вирішення будь-яких квадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискриминант позначається буквою D. Формула дискримінанту:

D \u003d b 2 - 4ac

І чим же примітно це вираз? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанту? адже -b, або 2a в цій формулі спеціально ніяк не називають ... Букви і букви.

Справа ось в чому. При вирішенні квадратного рівняння за цією формулою, можливі всього три випадки.

1. Дискримінант позитивний. Це означає, з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, чи погано - питання інше. Важливо, що витягується в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння - два кореня. Два різних рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас вийде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакових. Але, в спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний корінь не розгорнеться. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому рішенні квадратних рівнянь, поняття дискримінанту не особливо-то і потрібно. Підставляємо в формулу значення коефіцієнтів, так вважаємо. Там все само собою виходить, і два кореня, і один, і жодного. Однак, при вирішенні більш складних завдань, не повідомляючи сенсу і формули дискримінанту не обійтись. Особливо - в рівняннях з параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДПА та ЗНО!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняння через дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Чи вмієте правильно визначати a, b і з. Чи вмієте уважно підставляти їх в формулу коренів і уважно вважати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут - уважно?

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. ... За які потім буває боляче і прикро ...

прийом перший . Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с. Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтеся! Мінус перед іксом в квадраті може здорово вас засмутити. Забути його легко ... Позбавтеся від мінуса. Як? Так як вчили в попередній темі! Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад. Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! По теоремі Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! перевіряємо останнє рівняння. Тобто то, за яким ми записували формулу коренів. Якщо (як в цьому прикладі) коефіцієнт а \u003d 1, Перевірити коріння легко. Досить їх перемножити. Повинен вийти вільний член, тобто в нашому випадку -2. Зверніть увагу, не 2, а -2! вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло - значить вже десь накосячілі. Шукайте помилку.

Якщо вийшло - треба скласти коріння. Остання і остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт b з протилежним знаком. У нашому випадку -1 + 2 \u003d +1. А коефіцієнт b, Який перед іксом, дорівнює -1. Значить, все вірно!
Шкода, що це так просто тільки для прикладів, де ікс в квадраті чистий, з коефіцієнтом а \u003d 1. Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Все менше помилок буде.

прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! Домножьте рівняння на спільний знаменник, як описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Чи тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки, чомусь так і лізуть ...

До речі, я обіцяв злий приклад з купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, домножаем рівняння на -1. отримуємо:

От і все! Вирішувати - одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і повирішувати.)

Вирішити рівняння:

8х 2 - 6x + 1 \u003d 0

х 2 + 3x + 8 \u003d 0

х 2 - 4x + 4 \u003d 0

(Х + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Відповіді (в безладді):

х 1 \u003d 0
х 2 \u003d 5

х 1,2 \u003d2

х 1 \u003d 2
х 2 \u003d -0,5

х - будь-яке число

х 1 \u003d -3
х 2 \u003d 3

рішень немає

х 1 \u003d 0,25
х 2 \u003d 0,5

Все сходиться? Відмінно! Квадратні рівняння - не ваша головний біль. Перші три вийшли, а інші - ні? Тоді проблема не в квадратних рівняннях. Проблема в тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся по посиланню, це корисно.

Не зовсім виходить? Або зовсім не виходить? Тоді вам на допомогу Розділ 555. Там всі ці приклади розібрані по кісточках. Показані головні помилки в рішенні. Розповідається, зрозуміло, і про застосування тотожних перетворень в рішенні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.